[論文レビュー] A Lévy area by Fourier normal ordering for multidimensional fractional Brownian motion with small Hurst index

Jérémie Unterberger|ArXiv.org|Jun 8, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、小 Hurst 指数 $\alpha < 1/3$ を持つ多次元分数 Browm motion (fBm) の繰り返し積分（特に Lévy 面積と3次積分）を構成するため、Fourier 正規順序付け法を導入する。小分母を避けるために統合領域を正則化し、置換対称性を有するスケルトンに基づく分解を用いることで、$\varepsilon \to 0$ の極限において、正則化された積分が一様に $3\alpha^{-}$-Hölder 継続的であることを保証する。これにより、小 $\alpha$ における厳密な粗いパス構成が可能になる。主な貢献は、従来の方法が $\alpha > 1/4$ の古典的閾値以下で発散する分散のため失敗する領域においても、構成的で明示的かつ安定な fBm の粗いパスへの上昇を可能にする手法である。

ABSTRACT

The main tool for stochastic calculus with respect to a multidimensional process $B$ with small Hölder regularity index is rough path theory. Once $B$ has been lifted to a rough path, a stochastic calculus -- as well as solutions to stochastic differential equations driven by $B$ -- follow by standard arguments. Although such a lift has been proved to exist by abstract arguments \cite{LyoVic07}, a first general, explicit construction has been proposed in \cite{Unt09,Unt09bis} under the name of Fourier normal ordering. The purpose of this short note is to convey the main ideas of the Fourier normal ordering method in the particular case of the iterated integrals of lowest order of fractional Brownian motion with arbitrary Hurst index.

研究の動機と目的

• 小 Hurst 指数 $\alpha < 1/3$ を持つ多次元分数 Browm motion を粗いパスに上昇させる明示的かつ構成的な手法を提供すること。
• 従来の正則化スキーム（[5] や [26] におけるものなど）が $\alpha \leq 1/4$ のとき Lévy 面積の分散が発散するため失敗するのを克服すること。
• Fourier 分析的でスケルトンに基づく分解を用いて、3次繰り返し積分の正則化されたバージョンが一様に $3\alpha^{-}$-Hölder 継続的であることを確立すること。
• Hopf代数的構造を通じて、粗いパス理論に必要な乗法的（Chen）および幾何的（shuffle）性質をこの正則化で保つこと。

提案手法

• 本手法は、繰り返し積分を木構造の和に分解するための Fourier 正規順序付けスキームを用い、周波数空間における特異性を避けるために正則化を施す。
• スケルトン積分表現を導入し、三重積分をフーリエ変換を用いて表現し、分母が0に近づかないように制限された領域 $\mathbb{R}^{{\mathbb{T}}}_{reg}$ に制限する。
• 正則化は周波数空間における制約によって達成される：$|\xi_1| \leq |\xi_2| \leq |\xi_3|$ および $|\xi_2 + \xi_3|, |\xi_1 + \xi_2 + \xi_3| > C'_{\text{reg}}|\xi_3|$ などにより、小分母効果を制御する。
• 最終的な正則化済み積分は、置換 $\sigma \in \Sigma_3$ および係数 $g(\sigma,j)$ の対称和として定義され、インデックスの置換に対して不変性を保証する。
• 乗法的（Chen）および幾何的（shuffle）性質は構成上保たれ、shuffle Hopf代数における特徴関数論に依拠した証明が行われる。
• 未正則化の木構造の乗法的性質を模倣する再帰的構造を用いることで、粗いパス公理と整合性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\alpha < 1/3$ の fBm の繰り返し積分に対して、従来の方法が分散が発散するため失敗する領域においても、構成的で明示的な正則化スキームを開発できるか？
• RQ2 Fourier 正規順序付け法により、$\varepsilon \to 0$ の極限において、正則化された積分が一様に $3\alpha^{-}$-Hölder 継続的になるか？
• RQ3 この正則化において、粗いパスに必要な乗法的（Chen）および幾何的（shuffle）性質が保たれるか？
• RQ4 周波数空間において、三重積分の特異性構造をどのように制御すれば発散を防げるか？

主な発見

• 正則化済みスケルトン積分 $[\mathcal{R} \mathrm{Sk} I_{\mathbb{T}}(B^\varepsilon)]_u$ が、$\alpha < 1/3$ において $\varepsilon$ に依存しない一様な $3\alpha^{-}$-Hölder 継続性を示す。
• 正則化済み Lévy 面積の分散は周波数空間の領域制限により制御され、$\mathbb{E}([\delta \mathcal{R} \mathrm{Sk} I_{\mathbb{T}_1}(B^\varepsilon)]_{ts})^2 \leq C|t-s|^{6\alpha}$ が成り立つ。
• 最終的な正則化済み積分 $[\mathcal{R} I_{\mathbb{T}}(\mathbf{B}^\varepsilon)]_{tu}$ は、置換および部分木の対称和として定義され、不変性と整合性が保証される。
• 乗法的（Chen）性質は、式 (2.17) の再帰的定義が未正則化の木構造の乗法的構造を模倣しているため保たれる。
• 幾何的（shuffle）性質は、正則化作用素が shuffle 代数の特徴関数であることを示すことで確立され、粗いパスの合成と整合性を持つ。
• 本手法により、$\alpha < 1/3$ の fBm に対して、従来の方法が分散の発散により $\alpha > 1/4$ の領域で失敗する領域を越えて、粗いパスへの上昇を成功裏に構成した。