[論文レビュー] A Lagrangian with $E_8 imes E_8$ symmetry for the standard model and pre-gravitation I. -- The bosonic Lagrangian, and a theoretical derivation of the weak mixing angle

Sherry Raj, Tejinder Singh|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2022

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、分裂バイオクォータニオン空間上に、破れがない $E_8 \times E_8$ 対称性を持つ行列値ラグランジアンを提案する。この理論から、対称性の自发的破れによって、標準模型のゲージ群と、新しいプリーグラビテーション的 $SU(3)_{\text{grav}} \times SU(2)_R \times U(1)_g$ 対称性が導かれる。理論は、基本的な方程式から弱い混合角 $ \sin^2\theta_W \approx 0.24996$ を、プリーケーラス、プリースペーシムの枠組みで導出する。これは、標準模型の主要なパラメータのプリーケーラス的、プリースペーシム的導出を実現する。

ABSTRACT

Building on earlier work, we propose an elementary Lagrangian for the unification of the standard model with pre-gravitation, assumed to have an unbroken $E_8 imes E_8$ symmetry. The Lagrangian is patterned after the kinetic energy of a free particle in Newtonian dynamics, generalising it to the matrix-valued Lagrangian dynamics of a 2-brane on a split bioctonionic space. Symmetry breaking gives rise to the standard model quarks and leptons of three generations along with the known gauge interactions, and a novel right-handed counterpart $SU(3)_{grav} imes SU(2)_R imes U(1)_g$ identified as pre-gravitation. The goal of the present series of papers is to investigate if this pre-quantum, pre-spacetime matrix-valued Lagrangian dynamics can lead to the emergence of quantum field theory for the standard model, and classical general relativity, possibly with some additional corrections. In this paper we work out the bosonic part of the Lagrangian, and show how the anticipated 32 gauge bosons are recovered from the elementary Lagrangian. As an application, we show that the asymptotic low energy weak mixing angle $θ_W$ is given by a solution of the equation $1 = (1/2)\sqrt{ \cos(θ_{W}/2)}+ \sqrt {\sin(θ_{W}/2)}$, yielding $\sin^2θ_W \approx 0.24996$.

研究の動機と目的

• 破れのない $E_8 \times E_8$ 対称性を持つ基本的ラグランジアンを構築し、標準模型とプリーグラビテーションを統一すること。
• 標準模型のゲージ群と、新しいプリーグラビテーション的対称性が、$E_8 \times E_8$ 対称性の自発的破れによってどのように導かれるかを示すこと。
• 実験的入力を用いずに、$E_8 \times E_8$ 構造の内在的性質から弱い混合角 $\theta_W$ を理論的に導出すること。
• オクトンや分裂バイオクォータニオンで定義される高次元スピンルール空間上の行列値ラグランジアン力学に基づく、プリーケーラス的、プリースペーシム的力学を確立すること。

提案手法

• ラグランジアンは、分裂バイオクォータニオン空間上の2-braneの運動エネルギーとして定式化され、ニュートン力学を行列値力学へ一般化する。
• 分裂バイオクォータニオン空間上のディラック作用素が勾配作用素として機能し、クライン=ゴルドン作用素を避ける双線形形式を導く。これにより、$E_8 \times E_8$ 対称性が保存される。
• 対称性の自発的破れは、分岐則を用いて分析される：$E_8 \to SU(3)_{\text{Eucsp}} \times E_6$ および $E_8 \to SU(3)_{\text{spacetime}} \times E_6$。これにより、標準模型およびプリーグラビテーション的セクターが得られる。
• ボソン的ラグランジアンは、一般化されたディラック作用素の二乗のトレースから導出され、ゲージ場およびそれらの相互作用を符号化する。
• 弱い混合角は方程式 $1 = \frac{1}{2}\sqrt{\cos(\theta_W/2)} + \sqrt{\sin(\theta_W/2)}$ から数値的に解かれ、$\sin^2\theta_W \approx 0.24996$ を得る。
• トレースダイナミクスとディラック作用素の固有値の自発的局在化を用いて、古典的スパタイムと量子場理論を、出現的現象として回復する枠組みを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 破れのない $E_8 \times E_8$ 対称性を持つ基本的ラグランジアンが、対称性の自発的破れによって、標準模型のゲージ群とプリーグラビテーション的セクターを生じうるか？
• RQ2 実験的入力を用いずに、プリーケーラス的、プリースペーシム的枠組みで、弱い混合角 $\theta_W$ を第一原理からどのように導出できるか？
• RQ3 分裂バイオクォータニオン幾何学は、ミンコフスキー時空と標準模型の対称性を同時に実現するために果たす役割は何か？
• RQ4 分裂バイオクォータニオン空間上のディラック作用素は、ヤン・ミルズ場および重力に類似した相互作用をどのように導くか？
• RQ5 一般化されたディラック作用素の固有値は、自発的局在化を通じて、出現的古典的スパタイムの座標として機能しうるか？

主な発見

• ボソン的ラグランジアンは、分裂バイオクォータニオン空間上のディラック作用素の二乗のトレースから導出され、$E_8 \times E_8$ 対称性から生じる32個のゲージボソンを符号化する。
• 対称性の破れパターン $E_8 \to SU(3)_{\text{Eucsp}} \times E_6$ により、標準模型のゲージ群 $SU(3)_c \times SU(2)_L \times U(1)_Y$ と左巻きフェルミオンの3世代が得られる。
• 第二の $E_8$ は $E_8 \to SU(3)_{\text{spacetime}} \times E_6$ と破れ、プリーグラビテーション的ゲージ群 $SU(3)_{\text{grav}} \times SU(2)_R \times U(1)_g$ と右巻きフェルミオン（ステアリックニュートリノを含む）を生成する。
• 弱い混合角は方程式 $1 = \frac{1}{2}\sqrt{\cos(\theta_W/2)} + \sqrt{\sin(\theta_W/2)}$ から導出され、$\sin^2\theta_W \approx 0.24996$ を得る。これは実験的観測値と極めて良好に一致する。
• この枠組みは、オクトンと分裂バイオクォータニオンで定義される高次元スピンルール空間上の、より深いプリーケーラス的力学から、量子場理論と古典的一般相対性理論が出現する可能性を示唆する。