[論文レビュー] A Logic for Non-Monotone Inductive Definitions

Marc Denecker, Eugenia Ternovska|ArXiv.org|Jan 13, 2005

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 62被引用数 33

ひとこと要約

本稿では、非単調な帰納的定義を含む古典論理を拡張する形式的体系、ID論理を導入する。特に、well-founded順序における反復的帰納法に焦点を当てている。本稿は、同時に帰納的に定義された述語が互いに依存する場合に、特定の条件下でそれらを意味を失わずに分解可能な独立した部分定義に分割できることを示すモジュラリティ定理を確立し、等価性を保ったまま簡略化や古典論理への翻訳を可能にする。

ABSTRACT

Well-known principles of induction include monotone induction and different sorts of non-monotone induction such as inflationary induction, induction over well-founded sets and iterated induction. In this work, we define a logic formalizing induction over well-founded sets and monotone and iterated induction. Just as the principle of positive induction has been formalized in FO(LFP), and the principle of inflationary induction has been formalized in FO(IFP), this paper formalizes the principle of iterated induction in a new logic for Non-Monotone Inductive Definitions (ID-logic). The semantics of the logic is strongly influenced by the well-founded semantics of logic programming. Our main result concerns the modularity properties of inductive definitions in ID-logic. Specifically, we formulate conditions under which a simultaneous definition $\D$ of several relations is logically equivalent to a conjunction of smaller definitions $\D_1 \land ... \land \D_n$ with disjoint sets of defined predicates. The difficulty of the result comes from the fact that predicates $P_i$ and $P_j$ defined in $\D_i$ and $\D_j$, respectively, may be mutually connected by simultaneous induction. Since logic programming and abductive logic programming under well-founded semantics are proper fragments of our logic, our modularity results are applicable there as well.

研究の動機と目的

• 反復的帰納法および非単調な帰納的定義を統一的な論理枠組みで形式化すること。
• well-foundedおよび同時に帰納的に定義された述語を表現できるメカニズムを含む古典論理の拡張。
• 複雑な帰納的定義が意味を失わずにより単純で独立した成分に分解可能となる条件を確立すること。
• well-founded意味論下での論理プログラミングおよび帰納的論理プログラミングが、この論理の部分論理として埋め込まれることを示すこと。
• 人工知能および形式的検証分野におけるモジュラー知識表現と推論の基盤を提供すること。

提案手法

• 非単調な帰納的定義を備えた古典的一階論理の拡張としてID論理を定義する。
• 近似理論を用いて反復的帰納法の原則を形式化し、非単調作用素へのタルスキの不動点理論の一般化を実現する。
• 厳密な還元および還元分割の概念を導入し、帰納的定義の構造を分析する。
• 還元関係の推移的閉包を用いて帰納的定義の一次論理的完成を構築する。
• 定理7.3を適用して正の帰納的定義を第二階論理の帰納公理に翻訳する。
• 定理7.9を用いて、厳密な還元を含む定義を完成法により一次論理理論に翻訳する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非単調な帰納的定義、特に反復的およびwell-founded帰納法は、どのような論理的体系で正式に捉えられるか？
• RQ2 互いに依存する述語を持つ同時帰納的定義が、論理的に独立した部分定義の論理積に分解可能となる条件は何か？
• RQ3 ID論理における帰納的定義は、意味を保ったまま、等価な古典論理形式化（一次または第二階論理）に翻訳可能か？
• RQ4 ID論理のモジュラリティ特性は、複雑な論理的理論の簡略化および合成をどのように支援するか？
• RQ5 論理プログラミングや非単調的推論システムといった既存の形式的体系は、どの程度ID論理の部分論理として埋め込まれるか？

主な発見

• モジュラリティ定理により、相互に依存する述語の上での同時帰納的定義Δは、還元分割が存在する場合、意味的にΔ₁ ∧ … ∧ Δₙというより小さな定義の論理積に等価であることが保証される。
• 自然数上に厳密な還元を含む定義は、定理7.9で形式化された完成法により一次論理に翻訳可能である。
• 正の帰納的定義は、定理7.3を用いて第二階論理に翻訳可能であり、その意味が保持される。
• 論理プログラミングおよびwell-founded意味論下での帰納的論理プログラミングは、ID論理の適切な部分論理であり、この論理のモジュラリティ結果がそれらの分野に適用可能である。
• 誘導的状況計算の形式化を通じて、時間的推論における原因関係およびフラuentのモジュラー表現が可能であることが示された。
• 本稿では、還元および分解技術を用いて、複雑なID理論を、第二階論理の帰納公理を追加した等価な一次論理理論に変換可能であることを示した。