[論文レビュー] A Lorentz Covariant Noncommutative Geometry

Alexis Licht|ArXiv.org|Dec 13, 2005

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、1947年のシンドラーのモデルに基づくローレンツ不変な非可換幾何を定式化し、時空座標が $[x^\mu, x^\nu] = i\theta M^{\mu\nu}$ を満たすことを前提とする。このモデルでは、ローレンツ生成子 $M^{\mu\nu}$ を用いて、関数のスター積を新たに導出する。このスター積は、非線形な運動量空間の並進を反映しており、非自明な構造と潜在的な非可換性を示す。主な結果として、プランクスケールの運動量において発散が生じ、真空状態を用いた修正されたフーリエ変換マップが得られる。

ABSTRACT

A noncommutative geometry that preserves lorentz covariance was introduced by Hartland Snyder in 1947. We show that this geometry has unusual properties under momentum translation, and derive for it a form of star product.

研究の動機と目的

• 非可換性と相対論的対称性の矛盾を解消しつつ、ローレンツ不変性を保つ非可換幾何の構築。
• シンドラーのモデルにおける非自明な運動量空間の並進が、標準的なフーリエ解析を破壊する問題の解決。
• 非可換ミンコフスキー空間上の関数に対して一貫したスター積を定義し、場の理論的応用を可能にする。
• 運動量変換の非線形性にもかかわらず、真空状態を用いてヒルベルト空間上の演算子を座標空間上の関数に写像する方法の確立。
• 特に、スター積の可換性およびホモモーティズム性の代数的構造を調査する。

提案手法

• シンドラーの元々の5次元 SO(1,5) 表現と、拡大演算子 $D = \frac{1}{2}\{\xi^\alpha, P_\alpha\}$ を用いた4次元正準表現を用い、非可換座標 $x^\alpha = \xi^\alpha + \frac{\theta}{2}\{P^\alpha, D\}$ を定義する。
• 運動量空間の並進を演算子 $U(k) = e^{ik\cdot\hat{x}}$ を用いて分析し、それらが運動量固有状態に非線形に作用することを示し、変換された運動量 $\acute{q}^\alpha = q^\alpha g + k^\alpha f$ を得る。ここで $g$, $f$, $A$ は $k^2$ と $k\cdot q$ に依存する関数である。
• 真空状態 $|0\rangle$ を用いた修正フーリエ変換により、シンドラーのスター積を導出する。その結果、$\tilde{f}(k) = (2\pi)^2(1 - \frac{\theta}{2}k^2)\langle 0|e^{-ik\cdot\hat{x}}F|0\rangle$ が得られる。
• 逆フーリエ変換を用いてスター積 $f \star g(x)$ を構成し、$u$ と $v$ における勾配を含む非局所的かつ非対称な表現を得る。
• 演算子 $\hat{x}^\alpha$ のみでは交換関係が閉じないため、$M^{\alpha\beta}$ 生成子の導入が不可欠であり、ローレンツ変換下での真空状態の不変性を用いて写像を簡略化する。
• スター積の1次近似形として、$f \star g(x) = f(x)g(x) - \text{Lim}_{u,v\to x} \frac{\theta}{2}x\cdot\left[\nabla_v(\frac{\nabla_u^2}{2} + \nabla_u\cdot\nabla_v) - \nabla_u(\nabla_v^2 + \frac{\nabla_u\cdot\nabla_v}{2})\right]f(u)g(v)$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ローレンツ不変な非可換幾何における運動量空間の並進はどのように作用するのか。また、標準的な線形作用とは何が異なるのか。
• RQ2 運動量変換の非線形性を考慮しても、シンドラーの非可換時空上での関数に対して一貫したスター積を定義できるか。
• RQ3 この非可換設定下で、演算子から関数へのフーリエに類似した写像を定義する際、真空状態 $|0\rangle$ が果たす役割は何か。
• RQ4 導出されたスター積は可換性を保つのか。その代数的構造はいかなるものか。
• RQ5 運動量変換における発散、特に $k^2 = (n\pi)^2/\theta$ のときの物理的意味は何か。

主な発見

• シンドラーの幾何における運動量並進は、運動量固有状態に非線形に作用し、$|q^\alpha\rangle$ を $A|q^\alpha g + k^\alpha f\rangle$ に写像する。ここで $g$, $f$, $A$ は $\phi = \sqrt{\theta k^2}$ に依存し、$\cot(\sqrt{\theta k^2}) = k\cdot q \sqrt{\theta/k^2}$ を満たすと特異点が生じる。
• $q^\alpha = 0$ のとき、$k^2 = (n\pi)^2/\theta$ で変換された運動量が発散する。$\theta \sim \ell_P^2$ ならば、これはプランク質量程度の空間的運動量に対応し、根本的なスケールを示唆する。
• シンドラーのスター積は $f \star g(x) = f(x)g(x) - \text{Lim}_{u,v\to x} \frac{\theta}{2}x\cdot\left[\nabla_v(\frac{\nabla_u^2}{2} + \nabla_u\cdot\nabla_v) - \nabla_u(\nabla_v^2 + \frac{\nabla_u\cdot\nabla_v}{2})\right]f(u)g(v)$ として得られ、明示的な非局所性と $x=0$ における依存性が示される。
• 写像 $\tilde{f}(k) = (2\pi)^2(1 - \frac{\theta}{2}k^2)\langle 0|e^{-ik\cdot\hat{x}}F|0\rangle$ は同型写像ではない。例えばローレンツ生成子は恒等演算子に写像される。
• スター積が可換であるとは知られておらず、運動量変換の非線形性により、演算子から関数への写像はホモモーティズムでもない。
• シンドラーのモデルは空間的回転対称性を破る。スター積における特異点 $x=0$ と、空間座標と時間座標の固有値スペクトルの違いがその証左である。