[論文レビュー] A Matrix-free Preconditioner for the Helmholtz Equation based on the Fast Multipole Method

Huda Ibeid, Rio Yokota+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2016

Electromagnetic Scattering and Analysis参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、高速多重極法（FMM）を用いた行列非依存型プリコンディショナを、ヘルムホルツ方程式に提案する。FMMの$Ó(N ext{log}N)$の計算量と計算主導型のカーネルを活用することで、大規模なスパース線形方程式系に対するスケーラブルで効率的な反復解法が可能となる。本手法はメッシュや波数に依存しない収束性を達成し、1024コアまで強スケーリングを示す。現代のスーパーコンピュータ上では、通信効率と解法時間の両面で従来のプリコンディショナーより優れている。

ABSTRACT

Fast multipole methods (FMM) were originally developed for accelerating $N$-body problems for particle-based methods. FMM is more than an $N$-body solver, however. Recent efforts to view the FMM as an elliptic Partial Differential Equation (PDE) solver have opened the possibility to use it as a preconditioner for a broader range of applications. FMM can solve Helmholtz problems with optimal $\mathcal{O}(N \log N)$ complexity, has compute-bound inner kernels, and highly asynchronous communication patterns. The combination of these features makes FMM an interesting candidate as a preconditioner for sparse solvers on architectures of the future. The use of FMM as a preconditioner allows us to use lower order multipole expansions than would be required as a solver because individual solves need not be accurate. This reduces the amount of computation and communication significantly and makes the time-to-solution competitive with state-of-the-art preconditioners. Furthermore, the high asynchronicity of FMM allows it to scale to much larger core counts than factorization-based and multilevel methods. We describe our tests in reproducible details with freely available codes.

研究の動機と目的

• 高波数ヘルムホルツ離散化から生じる大規模で不定、複素数係数の線形方程式系を反復法で解く課題に対処すること。
• 不定ヘルムホルツ問題においてマルチグリッド法や代数的マルチグリッド法の限界を克服するスケーラブルで行列非依存型プリコンディショナーを開発すること。
• FMMの階層的構造と非対角成分の低ランク圧縮を活用し、行列を完全に格納せずに効率的なプリコンディショニングを実現すること。
• メッシュや波数に依存しない収束率を達成するとともに、大規模アーキテクチャ上で強スケーリングを維持すること。
• 公開可能で再現可能なコードを用いて、最先端のプリコンディショナーと比較して競争力のある解法時間を達成すること。

提案手法

• Krylov部分空間ソルバー（特にGMRES）に対して、FMMを行列非依存型プリコンディショナーとして用い、ヘルムホルツ作用素の逆作用の近似を実現する。
• 境界要素法（BEM）とFMMを組み合わせることで境界条件を正確に扱い、インピーダンス条件またはディリクレ条件を満たす内部ヘルムホルツ問題を解けるようにする。
• FMMの階層的ツリー構造により遠方相互作用を低ランクで圧縮でき、計算コストと通信コストの両方を削減する。
• 正確な行列ベクトル積を必要としないことから、低次の多重極展開（例：$p=6$）で十分であり、高精度な解法は不要である。
• PETScにカスタムFMMカーネルを実装し、Isogeometric Analysis用のPetIGAに統合。FMMの基盤ライブラリとしてExaFMMを用いる。
• スケーリング評価は、Shaheen IIスーパーコンピュータを用い、最大1024コアまで実施。性能測定にはPETScの`-log_summary`オプションを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高速多重極法（FMM）は、不定ヘルムホルツ方程式に対して効果的に行列非依存型プリコンディショナーとして再利用可能か？
• RQ2 FMMプリコンディショナーは、高波数ヘルムホルツ問題において、メッシュや波数に依存しない収束性を達成するか？
• RQ3 FMMプリコンディショナーは、AMG、IC、マルチグリッドなどの従来のプリコンディショナーと比較して、大規模コア数環境でどのようにスケーリングするか？
• RQ4 FMMプリコンディショナーは、ヘルムホルツ問題の反復ソルバーにおいて通信量を削減し、解法時間を改善できるか？
• RQ5 3次元ヘルムホルツ問題において、FMMの計算量と通信効率のトレードオフはどのようなものか？

主な発見

• FMMプリコンディショナーは、$\kappa$とメッシュサイズ$h$のテスト値に対して、メッシュ依存性および波数依存性のない収束率を達成しており、問題パrameterにわたるロバスト性を示している。
• 最大1024コアまで強スケーリングが実証され、FMMプリコンディショナーは、高い非同期通信パターンのおかげで効率的な性能を維持している。
• 同じ問題サイズにおいて、3次元ヘルムホルツ問題のFMMは3次元ポアソン問題のFMMよりも約1桁遅いが、Krylov反復の収束が速いため、その差は相殺される。
• FMMプリコンディショナーの解法時間は、最先端のプリコンディショナーと同等の性能を示しており、通信量の削減と行列非依存型処理のおかげである。
• 本手法は行列非依存型であり、大規模なスパース行列を格納しないため、メモリ帯域幅とストレージ要件を顕著に削減する。
• FMM拡張版のPetIGAとExaFMMライブラリを含む、すべてのコードが公開されており、再現性と拡張性を確保している。