[論文レビュー] A Mermin--Wagner theorem for quantum Gibbs states on 2D graphs, II

Mark Kelbert, Yurii Suhov|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2012

Theoretical and Computational Physics被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、2次元グラフ上の連続スピン系に対して、メルミン＝ワグナーの定理の量子拡張を確立し、相互作用ポテンシャルが $ C^2 $-滑らかで $ G $-不変である限り、定義されたクラス $ \fG $ に属するすべてのギブズ状態が、連結なリー群 $ G $ の作用に関して不変であることを証明する。フェインマン＝カック表現および無限体積ギブズ状態の構成を用いて、このような量子系において連続的対称性の自発的対称性の破れが生じえないことを示す。

ABSTRACT

This is the first of a series of papers considering symmetry properties of quantum systems over 2D graphs or manifolds, with continuous spins, in the spirit of the Mermin--Wagner theorem. In the model considered here (quantum rotators) the phase space of a single spin is a $d-$dimensional torus, and spins (or particles) are attached to sites of a graph satisfying a special bi-dimensionality property. The kinetic energy part of the Hamiltonian is minus a half of the Laplace operator. We assume that the interaction potential is C$^2$-smooth and invariant under the action of a connected Lie group ${ tG}$. A part of our approach is to give a definition (and a construction) of a class of infinite-volume Gibbs states for the systems under consideration (the class $\fG$). This class contains the so-called limit Gibbs states, with or without boundary conditions. We use ideas and techniques originated from various past papers, in combination with the Feynman--Kac representation, to prove that any state lying in the class $\fG$ (defined in the text) is ${ tG}$-invariant. An example is given where the interaction potential is singular and there exists a Gibbs state which is not ${ tG}$-invariant. In the next paper under the same title we establish a similar result for a bosonic model where particles can jump from a vertex of the graph to one of its neighbors (a generalized Hubbard model).

研究の動機と目的

• 2次元グラフまたは多様体上の連続スピンを有する量子系に、メルミン＝ワグナーの定理を拡張すること。
• 無限体積ギブズ状態のクラス $ \fG $ を定義し、境界条件の有無に関わらず極限ギブズ状態を含むように構成すること。
• 相互作用ポテンシャルが滑らかで $ G $-不変である限り、$ \fG $ に属する任意のギブズ状態が、連結リー群 $ G $ の作用に関して不変であることを証明すること。
• 相互作用が $ C^2 $-滑らかで $ G $-不変である場合、このような系では対称性の破れが不可能であることを示すこと。
• 特異なポテンシャルを持つ反例を構成し、滑らかさの必要性を強調すること。

提案手法

• 2次元グラフ上の連続スピンを有する量子回転子モデルのための無限体積ギブズ状態クラス $ \fG $ を導入する。
• フェインマン＝カック表現を用いて、量子統計力学を確率過程および経路積分に結びつける。
• ギブズ状態および位相空間測度に関する先行研究の技術を応用し、$ \fG $ の構成と分析を行う。
• 下位のグラフの2次元性の性質を活かし、メルミン＝ワグナー機構と整合する幾何的制約を保証する。
• 対称性の性質に対する解析的制御を可能とするために、相互作用ポテンシャルに $ C^2 $-滑らかさおよび $ G $-不変性を課す。
• 関数解析的および確率論的手法を用いてギブズ状態の対称性を分析し、$ G $ に関する不変性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元グラフ上の連続スピンを有する量子ギブズ状態では、連続的対称性が自発的に破れるか？
• RQ2 相互作用ポテンシャルにどのような条件を課すと、このような量子系におけるギブズ状態の $ G $-不変性が保証されるか？
• RQ3 2次元グラフ上の量子系に対して、一貫性のある無限体積ギブズ状態クラスをどのように定義し、構成できるか？
• RQ4 熱力学的極限において対称性の保存を保つために、相互作用ポテンシャルの $ C^2 $-滑らかさは必須か？
• RQ5 特異な相互作用ポテンシャルを持つ反例を構成し、$ G $-不変性が破れる場合があるか？

主な発見

• 相互作用ポテンシャルが $ C^2 $-滑らかで $ G $-不変である限り、クラス $ \fG $ に属する任意のギブズ状態は、連結リー群 $ G $ の作用に関して不変である。
• $ \fG $ の構成には、境界条件の有無に関わらず極限ギブズ状態を含み、広範な適用可能性を確保する。
• 証明は、量子系を確率過程に写像するフェインマン＝カック表現に依存しており、これにより対称性の分析が可能になる。
• 特異なポテンシャルを持つ反例が提示され、$ G $-不変性が破れるギブズ状態が存在することが示され、滑らかさの必要性が明確になる。
• 結果として、古典的メルミン＝ワグナーの定理が、連続スピンを有する2次元グラフ上の量子系に一般化される。
• グラフの2次元性は、この量子設定において対称性保護機構が成立するために不可欠である。