[論文レビュー] A methodology for designing fixed-time stable systems with a predefined upper-bound in their settling time

Rodrigo Aldana‐López, David Gómez‐Gutiérrez+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2020

Advanced Control Systems Optimization被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、ユーザーが定義する終了時間の上限（UBST）を有する非自励的固定時間安定系に、漸近的・有限時間的・固定時間的安定系を再設計するための新規手法を提案する。発散する代わりに有界な時間変動ゲインを導入することにより、保証されたUBSTを有する有限時間収束を実現するとともに、外乱に対してもロバストに対応可能となる。これにより、従来の手法に比べて実用性が向上し、保守的でない固定時間オンライン微分器および観測器の設計が可能となる。

ABSTRACT

Algorithms having uniform convergence with respect to their initial condition (i.e., with fixed-time stability) are receiving increasing attention for solving control and observer design problems under time constraints. However, we still lack a general methodology to design these algorithms for high-order perturbed systems when we additionally need to impose a user-defined upper-bound on their settling time, especially for systems with perturbations. Here, we fill this gap by introducing a methodology to redesign a class of asymptotically, finite- and fixed-time stable systems into non-autonomous fixed-time stable systems with a user-defined upper-bound on their settling time. Our methodology redesigns a system by adding time-varying gains. However, contrary to existing methods where the time-varying gains tend to infinity as the origin is reached, we provide sufficient conditions to maintain bounded gains. We illustrate our methodology by building fixed-time online differentiators with user-defined upper-bound on their settling time and bounded gains.

研究の動機と目的

• 高次元で摂動を受ける系に対して、ユーザーが定義する終了時間の上限（UBST）を有する固定時間安定系を設計するための一般手法の欠如に取り組むこと。
• 時間変動ゲインが無限大に発散するか、Zeno行動を引き起こすため、実用応用が制限される既存手法の制限を克服すること。
• 所定のUBSTを達成しつつ、有界なゲインを保証する十分条件を提供すること。
• 外乱を含む系への応用を可能とし、ロバストな観測器および微分器の設計を可能とすること。
• 保守的なUBST推定値を有する既存の固定時間微分器を、よりタイトでユーザーが調整可能な終了時間境界に再設計すること。

提案手法

• 本手法は、漸近的・有限時間的・固定時間的安定系のクラスを、非自励系の定式化により時間変動ゲインを導入することで再設計する。
• 座標変換と時間変動スケーリング関数 ρ(τ) を用いて、元の系を可変な収束ダイナミクスを有する補助系に写像する。
• Lyapunovに基づく解析により、ρ(τ) およびゲイン構造に特定の条件下で、変換済み系の漸近的および有限時間的安定性を証明する。
• ρ(τ) 及びその微分に十分条件を導出し、収束時に発散を回避するように、有界なゲインを保証する。
• 固定時間スライディングモード微分器に本手法を適用し、ユーザー定義でより保守的でないUBSTを持つ系に再設計する。
• Lyapunov解析および同次論を用いて理論的保証を確立し、証明は付録に記載。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元摂動系に対して、ユーザーが定義する終了時間の上限（UBST）を有する固定時間安定系を設計するための一般手法を開発可能か？
• RQ2 時間変動ゲインをどのように設計すれば、発散やZeno行動を回避しつつ、有界性を保証しつつ固定時間収束を達成できるか？
• RQ3 時間変動スケーリング関数 ρ(τ) 及びその微分にどのような条件が課されれば、所定のUBSTを有する有限時間安定性が保証されるか？
• RQ4 本手法を外乱を含む系に適用し、ロバストな固定時間観測器および微分器の設計に応用可能か？
• RQ5 既存の固定時間微分器（例：[17] に記載）と比較して、再設計済み系のUBSTの保守的さはどのように変化するか？

主な発見

• 提案手法により、漸近的・有限時間的・固定時間的安定系のクラスが、ユーザーが定義する終了時間の上限（UBST）を有する非自励的固定時間安定系に再設計された。
• 収束プロセス全般にわたり時間変動ゲインが有界であることを保証する十分条件が導出され、発散やZeno行動を回避した。
• 摂動および時間変動スケーリング関数 ρ(τ) にやや弱い仮定を課すことにより、変換済み系の有限時間安定性が保証された。
• 再設計済みの固定時間微分器は、[17] に記載された元の微分器と比較して、はるかに保守的でないUBSTを達成した。
• 理論的解析により、変換済み系の原点が有限時間安定であり、収束時間がユーザーが定義した Tc で上限づけられていることが確認された。
• 本手法により、有界なゲインと所定のUBSTを有するロバストな単入力単出力未知入力観測器およびオンライン微分器の設計が可能となった。