[論文レビュー] A Minkowski-style bound for the order of the finite subgroups of the Cremona group of rank 2 over an arbitrary field

Jean-Pierre Serre|ArXiv.org|Mar 3, 2009

Finite Group Theory Research被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、任意の体上での2次ランクのクレモナ群の有限部分群の位数に対して、ミンコフスキー型の上限を確立する。cyclotomic不変量 $ t $ と $ m $ を用いて、$ \ell $-冪位数の鋭い上限を決定する。主な結果は、任意の有限部分群の位数に含まれる最大の $ \ell $-冪の明示的な公式であり、特に $ \mathbb{Q} $ や有限体に対して明示的な値が与えられる。

ABSTRACT

Let Cr(k) be the Cremona group of rank 2 over a field k, i.e. the group of all k-automorphisms of k(X,Y). We determine the l.c.m. of the orders of the finite subgroups of Cr(k) of order prime to the characteristic of k.

研究の動機と目的

• 任意の体 $ k $ 上の2次ランククレモナ群 $ \mathrm{Cr}(k) $ の有限部分群の位数に対する鋭い乗法的上限を、線型代数的群のミンコフスキーの上限に類似した形で確立すること。
• 体 $ k $ の特性とは異なる $ \ell $ に対して、$ \mathrm{Cr}(k) $ の任意の有限部分群の最大 $ \ell $-冪位数を、cyclotomic不変量 $ t(k,\ell) $ と $ m(k,\ell) $ を用いて決定すること。
• 有理数 $ \mathbb{Q} $ や $ \mathbb{F}_p $ を含む有限生成体に対して、このような有限部分群の位数が一様に有界であることを証明すること。
• 特に $ k = \mathbb{Q} $ や有限体などの場合に、すべてのこのような位数の最小公倍数 $ M(k) $ の明示的公式を提供すること。
• 高ランククレモナ群への枠組みの拡張を行い、高次元における有界性およびジョルダン型性に関する基礎的問題を提示すること。

提案手法

• 2つのcyclotomic不変量を定義する：$ t(k,\ell) = [k(\mu_\ell):k] $ は、原始 $ \ell $-乗根を生成するcyclotomic拡大の次数であり、$ m(k,\ell) $ は $ k $ が $ \mu_{\ell^n} $ を含む最大の $ n $ である（$ \ell = 2 $ の場合は関連する元を含む）。
• マニンとイスクォフスキーの手法を用い、$ \mathrm{Cr}(k) $ の有限部分群をデル・ペッツォ面や円錐被覆の自己同型群の部分群として実現することで、問題を幾何的群作用への還元する。
• ガロアコhomオロジーと表現論を用いて、$ \mathrm{Gal}(k_s/k) $ が2次元トーラスの $ \ell $-冪 torsion 上に作用する様子を分析し、$ \mathrm{Cr}(k) $-部分群の構造をcyclotomicデータと結びつける。
• $ k $ 上のトーラスへの実現を通じて、すべての $ n \leq M(k,\ell) $ に対して、$ \ell^n $ 位数の明示的 $ \ell $-部分群を構成し、$ M(k,\ell) $ の鋭さを証明する。
• $ \mathrm{PGL}_2(k) $ の有限部分群の分類と $ \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) $ の構造を用いて、$ t = 3,4,6 $ の場合を分析し、$ \Gamma_k $-加群構造の一意性を保証する。
• $ \mathrm{Cr}(k) $ に位数 $ \ell^n $ の有限部分群が存在するための必要十分条件は $ n \leq M(k,\ell) $ であり、$ M(k,\ell) $ は $ t $ と $ m $ に基づく区分的関数として定義される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの素数 $ \ell \neq \mathrm{char}(k) $ に対して、$ \mathrm{Cr}(k) $ に位数 $ \ell $ の元が存在するか？
• RQ2 体 $ k $ がその素体上の有限生成体であるとき、$ \mathrm{Cr}(k) $ の位数が $ \mathrm{char}(k) $ と互いに素な有限部分群に対して、一様な有界性が存在するか？
• RQ3 任意の有限部分群の位数に含まれる最大の $ \ell $-冪は何か？ そしてそれは cyclotomic不変量 $ t(k,\ell) $ と $ m(k,\ell) $ にどのように依存するか？
• RQ4 2より大きいランク $ r > 2 $ のクレモナ群 $ \mathrm{Cr}_r(k) $ の有限部分群に対する上限を高ランクに一般化できるか？ また、その上限は $ r $ と体 $ k $ のcyclotomicデータにのみ依存するか？
• RQ5 有限体 $ k = \mathbb{F}_q $ に対して、$ \mathrm{Cr}_r(k) $ の有限部分群の最大位数 $ M_r(k) $ は、$ q $ におけるcyclotomic多項式の積の形に分解可能か？

主な発見

• $ \mathrm{Cr}(k) $ の有限部分群の最大 $ \ell $-冪位数は、$ t(k,\ell) $ と $ m(k,\ell) $ の関数として定義される区分的関数 $ M(k,\ell) $ で与えられる。$ \ell = 2 $ のとき $ M(k,\ell) = 2m+3 $、$ \ell = 3 $ で $ t > 1 $ のとき $ M(k,\ell) = 2m+1 $、$ \ell > 3 $ で $ t = 1,2 $ のとき $ M(k,\ell) = 2m $ である。
• $ k = \mathbb{Q} $ のとき、$ \mathrm{Cr}(k) $ の位数が $ \mathrm{char}(\mathbb{Q}) $ と互いに素なすべての有限部分群の位数の最小公倍数は $ M(k) = 120960 = 2^7 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7 $ である。
• $ k = \mathbb{F}_q $ である有限体のとき、$ q \equiv 4 $ または $ 7 \pmod{9} $ ならば $ M(k) = 3(q^4 - 1)(q^6 - 1) $、それ以外の場合は $ M(k) = (q^4 - 1)(q^6 - 1) $ である。
• $ \mathrm{Cr}(k) $ に位数 $ \ell^n $ の有限部分群が存在することは $ n \leq M(k,\ell) $ と同値であり、すべての $ n \leq M(k,\ell) $ に対してそのような部分群が存在するため、上限の鋭さが証明される。
• $ \mathrm{Cr}(k) $ に位数 $ \ell $ の元が存在することは、$ t(k,\ell) \in \{1,2,3,4,6\} $ であることと同値であり、これは $ M(k,\ell) > 0 $ であることと同値である。
• $ k $ が $ \mathbb{Q} $ や $ \mathbb{F}_p $ を含む有限生成体であるとき、cyclotomic不変量は $ m(k,\ell) < \infty $ であり、$ \ell \to \infty $ のとき $ t(k,\ell) \to \infty $ であるため、このような体は「小さい」性質を持ち、有限部分群の有界性が保証される。