[論文レビュー] A Modified Abramov-Petkovsek Reduction and Creative Telescoping for Hypergeometric Terms

Shaoshi Chen, Hui Huang+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2015

Polynomial and algebraic computation参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、補助線形差分方程式を解かずに、超幾何項を和分可能項と和分不可能項に分解する修正された Abramov-Petkovšek の還元法を導入し、二変数超幾何項に対するより効率的な第4世代の創造的テレスコーピングアルゴリズムを可能にする。この手法は証明書の計算を回避し、従来の手法と比較して著しく短い実行時間とメモリ使用量で最小順序のテレスコーピング器を達成する。

ABSTRACT

The Abramov-Petkovsek reduction computes an additive decomposition of a hypergeometric term, which extends the functionality of the Gosper algorithm for indefinite hypergeometric summation. We modify the Abramov-Petkovsek reduction so as to decompose a hypergeometric term as the sum of a summable term and a non-summable one. The outputs of the Abramov-Petkovsek reduction and our modified version share the same required properties. The modified reduction does not solve any auxiliary linear difference equation explicitly. It is also more efficient than the original reduction according to computational experiments. Based on this reduction, we design a new algorithm to compute minimal telescopers for bivariate hypergeometric terms. The new algorithm can avoid the costly computation of certificates.

研究の動機と目的

• 超幾何項に対する Abramov-Petkovšek の還元法のより効率的で実用的な変種を開発すること。
• 証明書の計算を分離することで、第4世代の創造的テレスコーピングを可能にすること。
• 補助線形差分方程式を明示的に解かずに、計算効率を向上させること。
• 証明書の計算を避ける新しいアルゴリズムを設計し、二変数超幾何項の最小順序テレスコーピング器を計算すること。
• 実験を通じて、新しい手法が実行時間とメモリ使用量の両面で既存の実装を上回ることを示すこと。

提案手法

• 修正された還元法は、シフトで既約な有理関数に基づく洗練された標準形を用いて、超幾何項を和分可能項と和分不可能項に分解する。
• アルゴリズムは、変換された項 $\sigma_x^i(T)$ に対して、和分可能項のイデアルを法として繰り返し還元を適用する。
• 還元された商 $q_i$ 間の線形従属関係を計算し、テレスコーピング器の係数 $\ell_i$ を決定する。
• 従来の手法で高コストとなる $uH$ の証明書 $u$ の明示的計算を回避する。
• シフトで既約な有理関数と核計算を用いることで、線形結合下でも良好な標準形を保証する。
• Maple での実装は、有理関数とシフト作用素を効率的に処理する記号計算を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 補助線形差分方程式を解かずに、正しさを保ちつつ Abramov-Petkovšek の還元法を修正することは可能か？
• RQ2 証明書の計算を避けても、離散的場合の第4世代の創造的テレスコーピングアルゴリズムを構築することは可能か？
• RQ3 修正された還元法は、二変数超幾何項の最小順序テレスコーピング器の計算を著しく高速化するか？
• RQ4 修正された還元によって得られる標準形は、線形従属関係の検出を効率的に行えるか？
• RQ5 新しいアルゴリズムの性能は、Zeilberger のアルゴリズムや元の Abramov-Petkovšek の還元法と比較してどうか？

主な発見

• 修正された Abramov-Petkovšek の還元法は、補助線形差分方程式を解かずに、和分可能項と和分不可能項への分解を計算する。
• 和分不可能項 $T$ に対して、MAP は元の AP よりも著しく高速であり、大きな入力（例：$\lambda=10, \mu=30$）では最大 50 倍の高速化（316.51s 対 15.73s）を達成する。
• 和分可能項 $\sigma_y(T) - T$ に対しては、(0,0) ケースで実行時間が 4.41s から 2.29s に短縮され、他のケースでは最大 80% の短縮が達成される。
• 新しいアルゴリズム（RCT 2）は証明書の計算を一切行わず、$n=2, m=0, \alpha=2, \lambda=5, \mu=10$ の場合に実行時間を 53.15s から 4.93s に短縮する。
• 二変数の場合、既知の結果（例：順序 4, 6, 7）と一致する最小順序テレスコーピング器を達成するが、計算時間は著しく短縮される。
• 実験結果から、多様な入力タイプとサイズにおいて、新しい手法は両方の古典的手法（Zeilberger のアルゴリズムと古典的 Abramov-Petkovšek の還元法）よりも一貫して高速であることが示された。