[論文レビュー] A modified semi--implict Euler-Maruyama Scheme for finite element discretization of SPDEs with additive noise

Gabriel J. Lord, Antoine Tambue|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2010

Structural Health Monitoring Techniques被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、加法的空間時間ノイズを伴う2階の確率的偏微分方程式（SPDE）を解くために、修正された半陽的Euler-Maruyamaスキームと有限要素法による空間離散化を組み合わせた手法を提案する。標準の半陽的Euler-Maruyamaスキームに比べ、根平均二乗$L^2$ノルムにおける収束速度を向上させるために、ノイズの線形関数を組み込む。この手法は、2次元の線形および非線形反応拡散移流方程式に対する解析と数値実験により検証された。

ABSTRACT

We consider the numerical approximation of a general second order semi--linear parabolic stochastic partial differential equation (SPDE) driven by additive space-time noise. We introduce a new modified scheme using a linear functional of the noise with a semi--implicit Euler--Maruyama method in time and in space we analyse a finite element method (although extension to finite differences or finite volumes would be possible). We prove convergence in the root mean square $L^{2}$ norm for a diffusion reaction equation and diffusion advection reaction equation. We present numerical results for a linear reaction diffusion equation in two dimensions as well as a nonlinear example of two-dimensional stochastic advection diffusion reaction equation. We see from both the analysis and numerics that the proposed scheme has better convergence properties than the standard semi--implicit Euler--Maruyama method.

研究の動機と目的

• 加法的ノイズを伴う2階の半線形放物型SPDEの強近似をより高精度に実現する数値スキームの開発。
• 非線形Nemytskii作用素が存在する場合に、標準の半陽的Euler-Maruyamaスキームが示す収束次数の低下を克服すること。
• 線形作用素およびノイズ共分散作用素の固有関数・固有値の明示的知識が不要な有限要素法による空間離散化を可能にすること。
• 拡散反応方程式および移流拡散反応方程式における根平均二乗$L^2$ノルムでの収束を確立すること。
• 2次元における理論的解析と数値シミュレーションを通じて、改善された収束特性を実証すること。

提案手法

• ノイズの各フーリエモードにおける確率的畳み込みの正確な分散に基づき、ノイズの線形関数を用いて修正された半陽的Euler-Maruyama時間ステッピングスキームを構築する。
• 空間離散化には有限要素法を用い、スペクトル基底の知識が不要な複雑な領域や境界条件に対しても柔軟性を有する。
• スキームは、$O_m = \int_{t_m}^{t_{m+1}} e^{(t_{m+1}-s)A} dW(s)$ で与えられる確率的畳み込みの近似を用い、ノイズ項は $\mathbf{E}[(e_i, O_m)^2] = e^{-2\lambda_i \Delta t} \frac{q_i}{2\lambda_i} (1 - e^{-2\lambda_i \Delta t})$ で計算される。
• 高次スキームが課す制限的な可換性仮定を回避するため、安定性と精度を維持する修正された時間ステッピング形式を用いる。
• 離散Gronwallの補題と、有限要素射影および時間積分に関する誤差項の推定を用いて、理論的収束性を証明する。
• 数値実装では、混合境界条件を有する長方形領域と、Matérn型共分散を用い、ノイズは無限領域積分と正確なガウス評価により近似される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 加法的ノイズを伴うSPDEに対して、修正された半陽的Euler-Maruyamaスキームは、標準スキームに比べてより高い収束速度を達成できるか？
• RQ2 スペクトル基底の知識が不要な有限要素離散化において、ノイズの線形関数の使用は安定性と精度を向上させるか？
• RQ3 一般の境界条件下で、非線形移流拡散反応SPDEに対して、提案スキームは高次収束を維持できるか？
• RQ4 根平均二乗$L^2$ノルムにおける、修正スキームと標準半陽的Euler-Maruyama法との収束速度の比較は？
• RQ5 ノイズ線形化と組み合わせた際、空間的有限要素近似が全体の収束に与える影響は？

主な発見

• 提案スキームは、線形および非線形SPDEの両方において、標準の半陽的Euler-Maruyamaスキームに比べ、根平均二乗$L^2$ノルムにおける収束速度を向上させた。
• 拡散反応方程式では、解の正則性に関連するパrameter $\beta < 2$ を用いて、収束次数 $\mathcal{O}(h^\beta + \Delta t^{\beta/2})$ を示した。
• 2次元線形反応拡散方程式の数値結果は、理論的収束速度を確認し、標準スキームに比べて誤差が小さくなった。
• 非線形2次元確率的移流拡散反応方程式のテストケースでは、複雑なダイナミクス下でもスキームのロバスト性と安定性が示された。
• 混合境界条件および分離不能なノイズ共分散を伴うSPDEに対しても、固有関数分解を明示的に必要とせず、適切に処理できた。
• 理論的解析により、$X(t)$ が $H^1(\Omega)$-値過程であり、$F$ がリプシッツ条件および成長条件を満たすという弱い仮定のもとで収束性が保証された。