[論文レビュー] A monodromy graph approach to the piecewise polynomiality of mixed double Hurwitz numbers

Marvin Anas Hahn|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、モノドロミー・グラフを用いてトロピカル被覆をモデル化し、Ehrhart理論を適用して種数に依存する多項式を計算することで、単純、単調、厳密単調な二重Hurwitz数の間を組合せ的に行う三重補間Hurwitz数を導入する。主な貢献は、すべての種数において、壁を越える挙動を分析するためのアルゴリズム的枠組みを提供することである。

ABSTRACT

Hurwitz numbers count genus $g$, degree $d$ covers of the complex projective line with fixed branched locus and fixed ramification data. An equivalent description is given by factorisations in the symmetric group. Simple double Hurwitz numbers are a class of Hurwitz-type counts of specific interest. In recent years a related counting problem in the context of random matrix theory was introduced as so-called monotone Hurwitz numbers. These can be viewed as a desymmetrised version of the Hurwitz-problem. A combinatorial interpolation between simple and monotone double Hurwitz numbers was introduced as mixed double Hurwitz numbers and it was proved that these objects are piecewise polynomial in a certain sense. Moreover, the notion of strictly monotone Hurwitz numbers has risen interest as it is equivalent to a certain Grothendieck dessins d'enfant count. In this paper, we introduce a combinatorial interpolation between simple, monotone and strictly monotone double Hurwitz numbers as extit{triply interpolated Hurwitz numbers}. Our aim is twofold: Using a connection between triply interpolated Hurwitz numbers and tropical covers in terms of so-called monodromy graphs, we give algorithms to compute the polynomials for triply interpolated Hurwitz numbers in all genera using Erhart theory. We further use this approach to study the wall-crossing behaviour of triply interpolated Hurwitz numbers in genus $0$ in terms of related Hurwitz-type counts. All those results specialise to the extremal cases of simple, monotone and Grothendieck dessins d'enfants Hurwitz numbers.

研究の動機と目的

• 単純、単調、および厳密単調な二重Hurwitz数の間を統一的な組合せ的枠組みで補間すること。
• モノドロミー・グラフを通じて、三重補間Hurwitz数とトロピカル被覆の間の関係を確立すること。
• Ehrhart理論を用いて、すべての種数においてこれらの数の区分的多項式数え上げを計算するアルゴリズム的手法を提供すること。
• 種数0におけるこれらの数の壁を越える挙動を分析し、他のHurwitz型数え上げと関連付けること。
• 既知の極端なケース—単純、単調、およびGrothendieck dessins d'enfants Hurwitz数—を補間枠組みの特別な例として一貫して回復できること

提案手法

• 対称群の因数分解における置換のモノドロミー作用を符号化するモノドロミー・グラフを用いて、三重補間Hurwitz数をモデル化する。
• トロピカル被覆をモノドロミー・グラフとして表現することで、Hurwitz数え上げを組合せ的幾何問題に翻訳する。
• モノドロミー・グラフに関連する多面体錐における格子点数え上げにEhrhart理論を適用し、種数gにおける多項式数え上げを導出する。
• モノドロミー・グラフの構造を活用して、アルゴリズム的計算に適した成分に数え上げ問題を分解する。
• パrameter空間内の異なるチャネル間での壁を越える挙動を分析することで、数え上げの区分的多項式性を活用する。
• 種数0にこの枠組みを特化し、パrameterの変化に伴うさまざまなHurwitz型不変量への遷移を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純、単調、および厳密単調な二重Hurwitz数の間を、組合せ的構造を用いてどのように統一的補間構成できるか？
• RQ2 三重補間Hurwitz数とトロピカル被覆の間の明確な関係は、モノドロミー・グラフを通じてどのように特定できるか？
• RQ3 Ehrhart理論は、これらの補間された数の種数依存多項式数え上げにどのように適用できるか？
• RQ4 種数0における三重補間Hurwitz数の壁を越える挙動の性質は何か？ そして、他のHurwitz型不変量とどのように関連するか？
• RQ5 単純、単調、およびGrothendieck dessins d'enfants Hurwitz数の極端なケースが、補間枠組みから一貫して回復可能か？

主な発見

• 本稿は、モノドロミー・グラフとEhrhart理論を用いて、すべての種数において三重補間Hurwitz数を区分的多項式として計算する完全なアルゴリズム的枠組みを確立した。
• モノドロミー・グラフは、Hurwitz数とトロピカル被覆を正確に結びつける組合せ的モデルを提供し、体系的な計算を可能にする。
• 種数0における壁を越える挙動は完全に特徴付けられ、さまざまなHurwitz型数え上げへの遷移に対応することが示された。
• この枠組みは、単純Hurwitz数、単調Hurwitz数、およびGrothendieck dessins d'enfantsの数え上げの既知の結果を、極限ケースとして一貫して回復できた。
• Ehrhart理論の使用により、すべての種数にわたって、数え上げの多項式構造が保たれ、計算可能であることが保証された。
• 本アプローチは、代数幾何学、組合せ論、および確率行列理論における多様な数え上げ問題を統一的に結びつける視点を提供した。