[論文レビュー] A monotonicity result for the $q-$fractional operator

Bahaaeldin Abdalla, Thabet Abdeljawad+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2016

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$0 < \alpha \leq 1$ の順序に対する $q$-分数階微分作用素について単調性の結果を確立し、正の $q$-分数階微分が関数の $c_q(\alpha)$-増加性を示すこと、およびその逆も成り立つことを証明する。さらに、$c_q(\alpha)$-単調性の枠組みを用いて、$q$-分数階の平均値の定理の版本を導出する。

ABSTRACT

In this article we prove that if the $q-$fractional operator $(~_{q} abla_{qa}^αy)(t)$ of order $00$ is positive such that $y(a) \geq 0$, then $y(t)$ is $c_q(α)-$increasing, $c_q(α)=\frac{1-q^α}{1-q}q^{1-α}$. Conversely, if y(t) is increasing and $y(a)\geq 0$, then $(~_{q} abla_{qa}^αy)(t)\geq 0$. As an application, we proved a $q-$fractional version of the Mean-Value Theorem.

研究の動機と目的

• $q$-時間スケール $T_q$ における $q$-分数階微分と関数の挙動の間の単調性関係を確立すること。
• $c_q(\alpha)$-増加関数を定義・分析し、$q$-微積分における古典的単調性の一般化とすること。
• 平均値の定理を含む、古典的分数階微積分の結果を $q$-分数階設定に拡張すること。
• 単調性および積分恒等式を用いて、$q$-分数階微分方程式を解くための理論的基盤を提供すること。

提案手法

• Caputo型 $q$-分数階微分 ${}_{q}C_{a}^{\alpha}f(t)$ 及び $T_q$ 上での $q$-積分によるその積分表現を用いる。
• $c_q(\alpha) = \frac{1 - q^\alpha}{1 - q} q^{1 - \alpha}$ の係数を導入し、$c_q(\alpha)$-増加関数を定義する。
• $q$-微積分の恒等式（積の法則や $q$-階乗関数のナブラ $q$-微分）を適用する。
• $q$-微積分の基本定理および $q$-積分恒等式を用いて、$q$-分数階の平均値の定理を導出する。
• 微分と積分を関連付けるために、$0 < \alpha \leq 1$ に対して ${}_{q}I_{a}^{\alpha}{}_{q}C_{a}^{\alpha}f(t) = f(t) - f(a)$ の恒等式を用いる。
• 関数に作用素 ${}_{q}\nabla_{aq}^{\alpha}$ を適用し、$c_q(\alpha)$-単調性の条件下で符号の保存を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の $q$-分数階微分が関数の $c_q(\alpha)$-増加性を示すのはどのような条件下か？
• RQ2 $c_q(\alpha)$-増加関数の挙動は、$0 < \alpha \leq 1$ の場合に非負の $q$-分数階微分を示すか？
• RQ3 $c_q(\alpha)$-単調性を用いて、$q$-分数階の平均値の定理のバージョンを導出できるか？
• RQ4 $q$-分数階微分は初期点 $a$ における関数値とどのように関係するか？
• RQ5 係数 $c_q(\alpha)$ は $q$-分数階微積分における単調性の特徴づけにおいて果たす役割は何か？

主な発見

• ${}_{q}\nabla_{qa}^{\alpha}y(t) \geq 0$ かつ $y(a) \geq 0$ ならば、$y(t)$ は $T_q$ 上で $c_q(\alpha)$-増加である。
• 逆に、$y(t)$ が $c_q(\alpha)$-増加であり、$y(a) \geq 0$ ならば、${}_{q}\nabla_{qa}^{\alpha}y(t) \geq 0$ である。
• $q$-分数階の平均値の定理が成立する：ある $r_1, r_2 \in \Delta$ が存在し、$\frac{{}_{q}\nabla_{aq}^{\alpha}f(r_1)}{{}_{q}\nabla_{aq}^{\alpha}g(r_1)} \leq \frac{f(b) - M_q(\alpha,a,b)f(a)}{g(b) - M_q(\alpha,a,b)g(a)} \leq \frac{{}_{q}\nabla_{aq}^{\alpha}f(r_2)}{{}_{q}\nabla_{aq}^{\alpha}g(r_2)}$ を満たす。
• 係数 $M_q(\alpha,a,b) = \frac{(1-q)a^{1-\alpha}(b-a)_{q}^{\alpha-1}(1-q)_{q}^{-\alpha}}{\Gamma_q(\alpha)\Gamma_q(1-\alpha)}$ は一般化された平均値の定理に現れ、$a = 0$ のときに消える。
• $a = 0$ のとき、$M_q(\alpha,0,b) = 0$ であるため、平均値の定理は退化し、標準形は適用できない。
• $c_q(\alpha)$-単調性の枠組みは、古典的単調性を一般化し、離散的 $q$-時間スケール上での $q$-分数階微分と関数の挙動との間の橋渡しを果たす。