[論文レビュー] A Multiplicity Result for the Linearschrodinger-Maxwell Equations with Negative Potential

Giuseppe Maria Coclite|ArXiv.org|Sep 4, 2001

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、特定の減衰および可積分性条件を満たす径数的で負のポテンシャルを伴う線形シュレーディンガー＝マクスウェル系に対して、無限に多くの負のエネルギーを持つ径数的解の存在を確立する。変分的還元と位相型理論を用いて、すべての負の周波数 ω に対して、エネルギーが −ω/2 より厳密に小さい解の列が存在することを証明する。

ABSTRACT

In this paper it is proved the existence of a sequence of radial solutions with negative energy of the linear Schrödinger-Maxwell equations under the action of a negative potential.

研究の動機と目的

• R³における線形シュレーディンガー＝マクスウェル系に対して、無限に多くの径数的解と負のエネルギーの存在を確立すること。
• V(x) が (V₁)–(V₄) を満たす負のポテンシャルのもとで、系を分析すること。これには無限遠における減衰および局所的可積分性が含まれる。
• 元のエネルギー汎関数の強い不定性を、対称的部分空間上の偶関数で有界下方の汎関数への還元によって克服すること。
• すべての ω < 0 に対して、エネルギーが −ω/2 より厳密に小さい臨界点の列の存在を証明すること。
• 非コンパクトな設定 R³ において、非対称的かつ非コンパクトなポテンシャルに対しても変分的技法を拡張すること

提案手法

• D¹,²(R³) 上での逆ラプラシアン作用素を用いて、ポisson方程式 Δφ = 4πu² を解くことにより、結合されたシュレーディンガー＝マクスウェル系を単一の方程式に還元する。
• H¹(R³) 上で Jω(u) = 1/4∫|∇u|²dx + π∫|∇Δ⁻¹u²|²dx − 1/2∫V(x)u²dx − ω/2∫u²dx として、還元されたエネルギー汎関数を定義する。
• 対称性を活用し、位相型理論を適用するために、径数関数の空間 H¹ᵣ(R³) に汎関数を制限する。
• H¹ᵣ(R³) race{0} の閉じた対称的部分集合 A に対して、位相型 γ(A) を用い、最小最大化レベル cₖ^ω = inf{sup Jω(A) | γ(A) ≥ k} (k ∈ ℕ) を定義する。
• (V₁)–(V₃) の仮定の下で、H¹ᵣ(R³) 上における Jω の弱下界半連続性を証明し、コンパクト性により最小化子の存在を保証する。
• すべての k に対して、∫(1/2|∇u|² − V(x)u²)dx < −ν < 0 を満たす k 次元部分空間 Vₖ ⊂ H¹ᵣ(R³) の族を構成し、位相型の議論を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 負で径数的なポテンシャル V(x) を伴う線形シュレーディンガー＝マクスウェル系は、負の周波数 ω < 0 に対して、無限に多くの径数的解を有するか？
• RQ2 元のエネルギー汎関数の強い不定性は、適切な変分的還元によって克服可能か？
• RQ3 位相型理論は、非コンパクトな設定 R³ における解の多重性を確立するために果たす役割は何か？
• RQ4 V(x) に対する減衰および局所的可積分性条件 (V₁)–(V₄) は、解の存在およびエネルギーの上限にどのように影響するか？

主な発見

• すべての ω < 0 に対して、uₖ ∈ H¹(R³) かつ ∫|∇φₖ|²dx < ∞ を満たす径数的解の列 {(uₖ, φₖ)} が存在する。
• エネルギー Fω(uₖ, φₖ) = Jω(uₖ) は、すべての k ∈ ℕ に対して Fω(uₖ, φₖ) < −ω/2 を満たす。
• 無限に多くの解の存在は、位相型理論によって証明され、すべての k ∈ ℕ に対して minimax 水準 cₖ^ω < −ω/2 であることが示された。
• スケーリングの議論を用いて、∫(1/2|∇u|² − V(x)u²)dx が一様に負である k 次元部分空間を構成する。
• 仮定 (V₁)–(V₃) の下で、汎関数 Jω は H¹ᵣ(R³) 上で弱下界半連続であり、最小化列のコンパクト性を保証する。
• ポテンシャル V(x) は (V₄): lim|x|→∞ x²V(x) = ∞ を満たす。これは、一様に負な部分空間の存在にとって不可欠である。