[論文レビュー] A Multivariable Chinese Remainder Theorem

Oliver Knill|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2012

Polynomial and algebraic computation参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、複数の変数を含む線形合同方程式系に対して、古典的な中国剰余定理を一般化し、法が互いに素であり、各行にその法と互いに素な係数が少なくとも1つ存在する場合、任意の右辺ベクトルに対して解が存在することを証明している。この手法は13世紀の秦九韶のアルゴリズムを応用し、逐次的上げ上げ法（successive lifting）を用いて解を構成的に構築するものであり、中国剰余定理を多変数ディオファントス方程式系へと拡張するものである。

ABSTRACT

Using an adaptation of Qin Jiushao's method from the 13th century, it is possible to prove that a system of linear modular equations a(i,1) x(i) + ... + a(i,n) x(n) = b(i) mod m(i), i=1, ..., n has integer solutions if m(i)>1 are pairwise relatively prime and in each row, at least one matrix element a(i,j) is relatively prime to m(i). The Chinese remainder theorem is the special case, where A has only one column.

研究の動機と目的

• 古典的な中国剰余定理を、複数の変数を含む線形合同方程式系へと拡張すること。
• 任意の右辺ベクトルに対して整数解が存在する十分条件を確立すること。
• 歴史的技法、特に秦九韶の「一つを求める方法」に基づいた構成的アルゴリズムを提供し、多変数合同系を解くこと。
• 互いに素な整数を法とする多項式方程式系（線形および非線形を含む）に対しても、この手法が適用可能であることを示すこと。
• 秦九韶のアルゴリズムが、シュライエル＝シムス法などの現代の計算群論的手法の前身であったことの歴史的意義を強調すること。

提案手法

• 構成的反復的上げ上げ法を用いる：1つずつ方程式を解き、中国剰余定理を用いて解をより高い法に段階的に拡張する。
• 各ステップで、現在の法と互いに素な係数を持つ変数を選択し、その方向に沿って解をパラメータ表示する。
• 群準同型写像 $\phi: \mathbb{Z}^n \to \mathbb{Z}_{m_1} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{m_n}$ を用い、核を $L_A$ とすることで、解空間の構造を分析する。
• 第一同型定理を適用し、解集合 $\mathcal{X} = \mathbb{Z}^n / L_A$ が $\phi$ の像と同型であることを示し、提示された条件下で全射性が保証されることを示す。
• 解を $\vec{x}(t) = \sum t_i (m_1 \cdots m_i) \vec{e}_{j(i)}$ の形で構成する。ここで $j(i)$ は、$m_i$ と互いに素な係数を持つ列を表し、法間の整合性が保証される。
• 非線形系への拡張には、パラメトリックな仮定（例：$\vec{x} = (t,t,t)$）を用い、成分ごとに逐次的に解を求める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列 $A$ が $n \times n$ で、$\vec{m}$ が互いに素な整数からなるとき、線形合同方程式系 $A\vec{x} \equiv \vec{b} \pmod{\vec{m}}$ が整数解を持つ条件は何か？
• RQ2 秦九韶の13世紀の合同方程式系の解法アルゴリズムは、任意の整数行列をもつ多変数線形系へと一般化可能か？
• RQ3 体積 $M = m_1 \cdots m_n$ の有界な平行多面体内に解を見つけるための構成的技法は存在するか？
• RQ4 この手法は、互いに素な法を法とする非線形多項方程式系へと拡張可能か？
• RQ5 秦九韶の手法と、シュライエル＝シムス法などの現代の計算群論アルゴリズムとの間には、歴史的・アルゴリズム的関係があるか？

主な発見

• 法 $m_i$ が互いに素であり、行列 $A$ の各行に $m_i$ と互いに素な要素 $a_{ij}$ が少なくとも1つ存在する場合、任意の $\vec{b}$ に対して系 $A\vec{x} \equiv \vec{b} \pmod{\vec{m}}$ は解をもつ。
• 解は体積 $M = m_1 \cdots m_n$ の基本領域 $\mathcal{X} = \mathbb{Z}^n / L_A$ 内に存在し、ここで $L_A$ は $\mathbb{Z}^n$ 内の格子である。
• 構成的アルゴリズムが存在する：係数が法と互いに素な方向に沿って、$m_1 \cdots m_i$ のスケーリングを用いた逐次的パラメータ表示により、解を段階的に上げ上げていく。
• 例として $\begin{bmatrix}101 & 107 \\ 51 & 22 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix}3 \\ 7 \end{bmatrix} \pmod{\begin{bmatrix}117 \\ 71 \end{bmatrix}}$ の解 $\vec{x} = \begin{bmatrix}25 \\ 65 \end{bmatrix}$ が得られた。
• 同次系 $A\vec{x} \equiv \vec{0} \pmod{\vec{m}}$ の解の格子は、$\begin{bmatrix}73 \\ 47 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-82 \\ 61 \end{bmatrix}$ で張られ、解空間の構造が確認された。
• 非線形系に対しても手法は拡張可能である：$x^2 + y^3 + z^2 \equiv 1 \pmod{5}$, $x^3 + 2y^4 - z^2 \equiv 1 \pmod{7}$, $3x - 2y^3 + 5z^4 \equiv 7 \pmod{11}$ の系に対して、逐次的上げ上げ法により解 $\vec{x} = (2,72,37)$ が構成された。