[論文レビュー] A natural connection on some classes of almost contact manifolds with B-metric

Манчо Манев, Miroslava Ivanova|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、B-計量を備えたほぼ接触多様体上に、ほぼ接触構造 $(\varphi,\xi,\eta)$ とB-計量 $g$ を保存する自然な接続、$\varphi$ B-接続と呼ばれるものを導入する。この接続のねじれと曲率を、さまざまなクラスの多様体上で特徴づけ、5次元のリー群がクラス $\mathcal{F}_6$ に属する場合、$\varphi$ B-接続が平坦で、ねじれが平行であることを証明する。

ABSTRACT

Almost contact manifolds with B-metric are considered. A special linear connection is introduced, which preserves the almost contact B-metric structure on these manifolds. This connection is investigated on some classes of the considered manifolds.

研究の動機と目的

• 奇数次元多様体上のほぼ接触構造 $(\varphi,\xi,\eta)$ とB-計量 $g$ を保存する自然な線形接続、$\varphi$ B-接続を定義し、それらを研究すること。
• これまでに研究された例を超えた、ほぼ接触B-計量多様体のクラスにおける $\varphi$ B-接続の幾何的性質（特にねじれと曲率）を調査すること。
• 5次元のリー群の文脈において、$\varphi$ B-接続が平坦で、ねじれが平行となるような条件を確立すること。
• ほぼ複素幾何におけるノーデン計量付きB-接続と $\varphi$ B-接続の類似性を、ほぼ接触構造とB-計量の文脈に拡張すること。

提案手法

• $\varphi$ B-接続 $\nabla^\prime$ を、$\nabla^\prime\varphi = \nabla^\prime\xi = \nabla^\prime\eta = \nabla^\prime g = 0$ を満たす線形接続として定義し、ほぼ接触B-計量構造が保存されることを保証する。
• B-計量 $g$ のLevi-Civita接続 $\nabla$ を用いて、$\nabla^\prime$ と $\nabla$ の差分テンソルを表現し、$\nabla^\prime$ のねじれと曲率の計算を可能にする。
• $\nabla^\prime$ のねじれテンソル $T$ を、$\nabla\xi$ と $\nabla\eta$ の共変微分を用いて特徴づけ、特に $T(\xi, e_i, e_j)$ の成分に注目する。
• 構造方程式とほぼ接触B-計量多様体のクラス $\mathcal{F}_i$ への分類を用いて、$\nabla^\prime$ の曲率テンソル $R^\prime$ を導出する。
• 左不変なほぼ接触B-計量構造を備えた5次元リー群に接続を適用し、構造定数 $\lambda_i, \mu_i$ を用いて $\nabla^\prime$、$T$、$R^\prime$ の明示的成分を計算する。
• 曲率テンソルの非ゼロ成分がすべて消えることにより $\nabla^\prime$ が平坦であることを確認し、$\nabla^\prime T = 0$ をチェックすることでねじれの平行性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、ほぼ接触B-計量構造を保存する自然な接続を、B-計量を備えたほぼ接触多様体上に定義できるか？
• RQ2 $\varphi$ B-接続のねじれと曲率の性質は、クラス $\mathcal{F}_1, \mathcal{F}_4, \mathcal{F}_5, \mathcal{F}_{11}$ およびそれらを超えたクラスにおいてどのように特徴づけられるか？
• RQ3 5次元のほぼ接触B-計量多様体において、$\varphi$ B-接続が平坦となる条件は何か？
• RQ4 $\varphi$ B-接続のねじれが、接続自体に関して平行となるのはいつか？
• RQ5 どのような幾何的条件が、$\varphi$ B-接続の曲率テンソルが $\varphi$-ケーラー型であることを保証するか？

主な発見

• $\varphi$ B-接続は、5次元のリー群多様体がクラス $\mathcal{F}_6$ に属する場合、その曲率テンソル $R^\prime$ のすべての非ゼロ成分が消えるため、平坦である。
• $\varphi$ B-接続のねじれ $T$ は、5次元の $\mathcal{F}_6$-多様体上で $\nabla^\prime T = 0$ により、$\nabla^\prime$ に関して平行であることが確認された。
• ねじれテンソルの非ゼロ成分は、$T_{511} = -T_{522} = -T_{533} = T_{544} = \lambda_1$、$T_{512} = T_{521} = -T_{534} = -T_{543} = \frac{1}{2}(\lambda_2 + \mu_1)$、$T_{513} = -T_{524} = T_{531} = -T_{542} = -\lambda_3$、および $T_{514} = T_{523} = T_{532} = T_{541} = -\frac{1}{2}(\lambda_4 + \mu_3)$ である。
• $\varphi$ B-接続の曲率テンソルが $\varphi$-ケーラー型であるための必要十分条件は、多様体が部分クラス $\mathcal{U}_3 = \mathcal{F}_4 \oplus \mathcal{F}_5 \oplus \mathcal{F}_6$ に属することであり、このとき $F(x,y,\xi) = F(y,x,\xi) = -F(\varphi x, \varphi y, \xi)$ を満たす。
• $\mathcal{U}_3$ 上での $\nabla^\prime$ の曲率テンソルは、$R(x,y,z,\xi) = \eta(x)g(\nabla_y\xi, \nabla_z\xi) - \eta(y)g(\nabla_x\xi, \nabla_z\xi)$ の形をとる。
• $\mathcal{U}_1$ に対して、$\mathop{\mathfrak{S}}\limits_{x,y,z}\{\eta(x)R(y,z)\xi\} = 0$ が成り立ち、このクラスでは $R(\varphi x, \varphi y)\xi = 0$ が成り立つ。