[論文レビュー] A near optimal algorithm for finding Euclidean shortest path in polygonal domain

R. Inkulu, Sanjiv Kapoor+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2010

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 16被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、障害物を有する2次元多角形領域におけるユークリッド最短経路を計算する近似的最適なアルゴリズムを提示する。波フロント伝搬とcorridor分解を組み合わせることで、時間計算量O(T + m(lg m)(lg n))、空間計算量O(n)を達成し、既知の下界O(n + m lg m)に非常に近い。従来の波フロント法や可視性グラフ法に比べ、動的データ構造を用いてイベント処理を効率化し、波フロントの拡張を関心領域に限定することで、性能が向上する。

ABSTRACT

We present an algorithm to find an {\it Euclidean Shortest Path} from a source vertex $s$ to a sink vertex $t$ in the presence of obstacles in $\Re^2$. Our algorithm takes $O(T+m(\lg{m})(\lg{n}))$ time and $O(n)$ space. Here, $O(T)$ is the time to triangulate the polygonal region, $m$ is the number of obstacles, and $n$ is the number of vertices. This bound is close to the known lower bound of $O(n+m\lg{m})$ time and $O(n)$ space. Our approach involve progressing shortest path wavefront as in continuous Dijkstra-type method, and confining its expansion to regions of interest.

研究の動機と目的

• 2次元多角形領域に障害物がある場合のユークリッド最短経路の計算において、O(n + m lg m)の時間計算量を達成するという長年の未解決問題に取り組む。
• 既知の下界Ω(n + m lg m)を満たさない従来の波フロントベースの手法を改善すること。
• 可視性グラフ法に比べて空間使用量を削減すること。可視性グラフ法は最悪ケースでΩ(n²)の辺を必要とするため。
• 幾何的波フロント拡張とcorridorおよびjuncture構造を組み合わせた、実用的で効率的なアルゴリズムを構築すること。
• 理論的下界に非常に近い性能を維持しつつ、空間計算量をO(n)に保つソリューションを提供すること。

提案手法

• アルゴリズムはまず、多角形領域の三角形分割を実行し、そのコストはO(T)時間で、Tは三角形分割のコストを表す。
• Kapoorら[8]と類似の構造を用いて、三角形間で有用なcorridorとjunctureを同定し、局所的な波フロント伝搬を可能にする。
• 出発点sから連続的なダイクストラ型波フロントを伝搬するが、拡張は関心領域に限定され、イベント点の数を削減する。
• BHT、BST、WST、およびイベントヒープといった動的データ構造を用いて、波面セグメント、境界セグメント、イベント点を効率的に維持する。
• ASSOCATOBおよびMERGE手続きは、corridorの凸チェーンと波フロントの交差を管理し、各操作でO((lg m)(lg n))時間で二分探索と近接性チェックを実行する。
• イベント処理は、二分探索および更新コストを波面セグメントおよび境界セグメントの有限個に割り当てることで最適化され、均し計算量の効率性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元多角形領域におけるユークリッド最短経路の波フロントベースのアルゴリズムは、既知の下界O(n + m lg m)に非常に近い近的最適な時間計算量を達成できるか？
• RQ2 波フロントの拡張を関心領域に限定することで、イベント点の数を削減し、効率を向上させることは可能か？
• RQ3 波面セグメントおよび境界セグメントのための動的データ構造を用いることで、O(n)の空間計算量を維持しつつ、近的最適な時間計算量を達成できるか？
• RQ4 corridor分解とjuncture構造は、波フロント伝搬におけるイベント数をどれほど削減できるか？
• RQ5 波フロント法とcorridorベースの刈り込みを組み合わせることで、最悪ケースにおいて可視性グラフ法を上回る性能が得られるか？

主な発見

• アルゴリズムはO(T + m(lg m)(lg n))の時間計算量を達成し、Tは三角形分割時間、mは障害物数、nは頂点総数を表す。
• 空間計算量はO(n)であり、計算中を通じて線形空間を維持する。これは問題に対して最適である。
• 時間計算量の上限は、既知の下界Ω(n + m lg m)から対数因子の範囲内にあり、近的最適である。
• BHT、BST、WST、およびイベントヒープといった動的データ構造の使用により、各イベントあたりO((lg m)(lg n))の均し計算量で波面および境界セグメントの維持が可能になる。
• 従来の波フロント法に比べて性能が向上し、可視性グラフ法の最悪ケースにおけるO(n²)の辺の爆発を回避する。
• 有限精度算術においても安定であり、数値的複雑性は分析から無視されており、実用的応用性が示されている。