[論文レビュー] A necessary condition for existence of S-matrix outside perturbation theory

A. V. Stoyanovsky|ArXiv.org|Jul 31, 2007

Quantum optics and atomic interactions参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、マスロフ＝シュヴェドフの複素胚法を用いて、摂動論を超えた量子場理論におけるS行列の存在に必要な条件を確立する。S行列が準古典的近似において存在可能であるためには、古典的場の発展に対する接線シンプレクティック変換がフォック空間においてユニタリに実装可能でなければならないことが示され、著者らはマスロフ＝シュヴェドフの研究結果により、この条件が一般に満たされると主張する。

ABSTRACT

Using the Maslov--Shvedov method of complex germ, we show that quantum field theory S-matrix can exist outside perturbation theory in the principal order of quasiclassical approximation only under the condition that the tangent symplectic transformation to the evolution operator of non-linear classical field equation is unitarily implementable in the Fock space. However, the results of Maslov--Shvedov's book imply that this condition is seemingly always satisfied.

研究の動機と目的

• 準古典的近似を用いて、量子場理論における非摂動的S行列の存在を調査すること。
• 主項の準古典的展開において、摂動論の枠組みを越えてS行列が一貫して定義可能かどうかを特定すること。
• 古典的場の発展によって誘導されるシンプレクティック変換のフォック空間におけるユニタリ実装を分析すること。
• マスロフ＝シュヴェドフの複素胚法の結果が、ユニタリ実装条件の一般妥当性を示すかどうかを評価すること。
• 準古典的発展がフォック空間ベクトルに関して、数学的に明確に定義され、ユニタリであるための条件を明確化すること。

提案手法

• ハミルトニアン量子場理論におけるフォック空間ベクトルの準古典的発展を計算するために、マスロフ＝シュヴェドフの複素胚法を適用する。
• 主項の準古典的近似（$ o(h) $ の項まで保持）を用いて、波動関数の汎関数の発展を記述する。
• 古典的場の流れに対する接線シンプレクティック写像によって生成されるユニタリ変換として、フォック空間ベクトルの発展をモデル化する。
• ハミルトニアン $ H $ の二階関数的微分から得られる $ H_2 $ の二次部分を用いて、汎関数 $ f $ の発展を記述する。
• 波動関数のガウス成分の時間発展を支配する核 $ R^t( extbf{x}, extbf{y}) $ のリッカティ方程式を分析する。
• 正則化を除去した後の有限性とユニタリティを保証するために、$ O(h) $ のオーダーの補正項ハミルトニアン $ H^{ct}_ ext{Λ} $ を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子場理論において摂動論の枠組みを越えてS行列が存在可能な条件は何か？
• RQ2 古典的場の発展に関連する接線シンプレクティック変換がフォック空間においてユニタリに実装可能であるか？
• RQ3 マスロフ＝シュヴェドフの複素胚法は、準古典的極限においてフォック状態のユニタリな発展演算子を一貫して得られるか？
• RQ4 一般の非線形古典的場方程式に対して、ユニタリ実装条件が満たされるか？
• RQ5 補正項は、準古典的発展演算子の有限性とユニタリティを保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• S行列が摂動論を超えて主項の準古典的近似において存在可能であるためには、古典的場の発展に対する接線シンプレクティック変換がフォック空間においてユニタリに実装可能でなければならない。
• ユニタリ実装条件は、シンプレクティック作用素が $ L^2 $-ノルムで有界であること、およびその成分の特定の組み合わせがヒルベルト＝シュミット作用素であること要求される。
• マスロフ＝シュヴェドフの書籍の結果から、このユニタリ実装条件は、古典的場方程式に対して一般に満たされているように思われる。
• 複素胚法を用いて計算された真空中の準古典的発展 $ \Psi_0 $ は、フォック空間内に留まることが示され、形式的体系の整合性が裏付けられる。
• 補正項ハミルトニアン $ H^{(1)}_\Lambda $ が適切に選ばれる限り、フォック空間内の多項式関数の汎関数の発展は、同じ条件下で明確に定義され、ユニタリである。
• この方法により、古典的軌道とその線形化された力学によって、S行列の非摂動的構成が可能となり、全発展は $ R^t $ のリッカティ方程式に符号化されている。