[論文レビュー] A new approach to the LSZ reduction formula

John C. Collins|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2019

Quantum and Classical Electrodynamics参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、相対論的量子場理論における漸近的粒子生成演算子の新しい構成を提示する。この手法は無限時間極限において強い極限を達成し、長年の問題であるLSZ還元公式の欠陥を解消する。時間範囲パラメータΔtを導入することで、意図した粒子状態のみが生成され、元のLSZ手法に見られるUV発散を示す余分な成分が排除される。主な貢献は、LSZおよび新しい演算子の両方に明示的なファインマン規則を備えた、完全に演繹的かつ体系的な散乱理論の枠組みを提供することである。摂動的計算により、元のLSZ演算子がUV発散を示す余分な状態を生成することが確認された。

ABSTRACT

Lehmann, Symanzik and Zimmermann (LSZ) proved a theorem showing how to obtain the S-matrix from time-ordered Green functions. Their result, the reduction formula, is fundamental to practical calculations of scattering processes. A known problem is that the operators that they use to create asymptotic states create much else besides the intended particles for a scattering process. In the infinite-time limits appropriate to scattering, the extra contributions only disappear in matrix elements with normalizable states, rather than in the created states themselves, i.e., the infinite-time limits of the LSZ creation operators are weak limits. The extra particles that are created are in a different region of space-time than the intended scattering process. To be able to work with particle creation at non-asymptotic times, e.g., to give a transparent and fully deductive treatment for scattering with long-lived unstable particles, it is necessary to have operators for which the infinite-time limits are strong limits. In this paper, I give an improved method of constructing such operators. I use them to give an improved systematic account of scattering theory in relativistic quantum field theories, including a new proof of the reduction formula. I make explicit calculations to illustrate the problems with the LSZ operators and their solution with the new operators. Not only do these verify the existence of the extra particles created by the LSZ operators and indicate a physical interpretation, but they also show that the extra components are so large that their contribution to the norm of the state is ultra-violet divergent in renormalizable theories. Finally, I discuss the relation of this work to the work of Haag and Ruelle on scattering theory.

研究の動機と目的

• 無限時間極限において、生成演算子が意図した状態以外の余分な粒子を生成するという、LSZ還元公式における長年の問題を解決すること。
• 弱い極限ではなく強い極限を達成する新たな粒子生成演算子の構成法を開発し、散乱過程の有限時間的取り扱いを可能にすること。
• 相対論的量子場理論の散乱理論に対して、完全に演繹的かつ体系的な枠組みを提供すること、特に長寿命または不安定な粒子を含む場合に有効である。
• LSZ演算子に現れる余分な成分の物理的解釈を明確にし、そのUV発散が規範化可能な理論においても顕在することを示すこと。
• 新しい形式とハグ＝ルーレ散乱理論との関係を確立し、有限時間での構成と厳密な漸近的粒子状態の両立を実現すること。

提案手法

• 生成演算子に時間範囲パラメータΔtを導入し、$ A^{ullet}_{f}(t, \triangle t) $ を定義することで、エネルギー不確定性を制御し、$ \triangle t \to \infty $ のとき強い極限が存在することを保証する。
• 単一の時間スライスにわたる積分を行う標準的なLSZ演算子に代わり、有限時間区間におけるスムージング関数を用いた修正された時序化された場の積分を用いる。
• 演算子ノルム $ \|A(t) - B\| \to 0 $ を用いて強い極限を定義し、すべての状態の行列要素において収束が保証されるようにする。
• 新しい生成演算子に付随する頂点の明示的ファインマン規則を導出し、行列要素およびノルムの摂動的計算を可能にする。
• 相互作用表示において明示的な摂動的計算を実施し、LSZおよび新しい演算子が生成する状態のノルムを計算することで、前者にUV発散が生じることを確認する。
• 運動量空間積分における位相キャンセレーション技術を用い、行列要素の振る舞いを分析し、弱い極限、強い極限、および非常に強い極限を区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 LSZ生成演算子は、S行列の行列要素が正しくても、無限時間極限において意図した状態以外の粒子を生成してしまうのはなぜか？
• RQ2 無限時間極限が弱い極限ではなく強い極限となるような、新たな生成演算子のクラスを構成可能か？
• RQ3 LSZ演算子が生成する状態に現れるUV発散成分の物理的および数学的起源は何か？
• RQ4 新しい演算子は、長寿命または不安定な粒子を含む散乱過程の完全な演繹的取り扱いをどのように可能にするか？
• RQ5 新しい形式とハグ＝ルーレ散乱理論との正確な関係は何か？特に、漸近状態の存在に関する点で。

主な発見

• LSZ生成演算子 $ a^{ullet}_{f}(t) $ は、意図した粒子に加えて、ノルムにおいてUV発散を示す余分な成分を生成するが、正規化可能な状態との行列要素ではこれらが相殺される。
• 有限時間範囲 $ \triangle t $ を持つ新しい演算子 $ A^{ullet}_{f}(t, \triangle t) $ は、無限時間極限が強い極限となることを保証し、状態自体に余分な成分が存在しなくなる。
• 摂動的計算により、LSZ演算子が生成する状態のノルムが規範化可能な理論においてUV発散を示すことが確認された一方、新しい演算子はこの発散を回避する。
• 新しい演算子の強い極限が存在するのは、余分な成分が行列要素だけでなく状態ベクトル自体からも消えるためであり、これは時間範囲スムージングに起因する。
• 新しい形式は、新しい生成演算子の頂点に対して明示的なファインマン規則を提供し、それらの行列要素およびノルムの体系的摂動的計算を可能にする。
• 解析により、時間並進不変な理論においては、LSZおよび新しい演算子の両方において、非常に強い極限（演算子ノルム収束）は存在しないことが示された。これは、行列要素における位相キャンセレーションに起因する。