[论文解读] A New Central Limit Theorem under Sublinear Expectations

Shigē Péng|ArXiv.org|Mar 18, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用 167

一句话总结

本文在次线性期望下建立了新的中心极限定理（CLT），引入了一种广义G-分布，以捕捉均值和方差的不确定性。通过利用粘性解理论和全非线性PDE估计，作者证明了独立随机向量的和依分布收敛于G-正态分布，将经典CLT扩展至金融与风险管理中的模型不确定性情景。

ABSTRACT

We describe a new framework of a sublinear expectation space and the related notions and results of distributions, independence. A new notion of G-distributions is introduced which generalizes our G-normal-distribution in the sense that mean-uncertainty can be also described. W present our new result of central limit theorem under sublinear expectation. This theorem can be also regarded as a generalization of the law of large number in the case of mean-uncertainty.

研究动机与目标

• 将经典中心极限定理推广至存在模型不确定性的场景，特别是均值与方差模糊性的情形。
• 建立一个子线性期望空间的新框架，该框架将经典概率论推广至可容纳不精确分布的情形。
• 引入并表征一种广义G-分布，以捕捉均值与方差的不确定性，从而扩展早期的G-正态分布。
• 在子线性期望下，为独立随机向量的和建立严格的收敛结果，证明其依分布收敛于广义G-分布。
• 为非加性、模型模糊的概率设定下的大数定律与CLT提供理论基础，此类设定在金融与风险评估中具有相关性。

提出的方法

• 通过在局部Lipschitz函数下封闭的随机变量线性空间，形式化子线性期望空间。
• 通过单调性、常数保持性、次可加性与正齐次性来定义子线性期望。
• 引入G-分布的概念，作为将G-正态分布推广至包含均值不确定性的广义形式。
• 应用全非线性抛物型PDE的粘性解理论，推导关键收敛结果。
• 利用来自参考文献[5]的全非线性PDE的深层内部估计，证明在子线性期望下的CLT。
• 为粘性解建立比较定理与控制定理，以控制极限分布的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在均值与方差均不确定的子线性期望空间中，能否建立中心极限定理？
• RQ2 在子线性期望下，独立同分布随机向量和的极限分布是什么？
• RQ3 广义G-分布如何将经典G-正态分布推广至包含均值不确定性的形式？
• RQ4 在模型模糊性的背景下，经典CLT与大数定律在多大程度上可以被推广？
• RQ5 全非线性PDE的粘性解在证明子线性期望下的收敛性中起到何种作用？

主要发现

• 本文在子线性期望下建立了新的中心极限定理，证明了独立同分布随机向量的和依分布收敛于G-分布。
• 极限分布为广义G-正态分布，能够捕捉均值与方差的不确定性，从而扩展了经典正态分布。
• 在均值与方差不确定性消失的特殊情况下，G-分布退化为经典正态分布。
• 证明依赖于全非线性PDE的深层估计，特别是粘性解技术，以控制收敛行为。
• 收敛性在子线性期望下依分布成立，推广了经典分布收敛的概念。
• 该框架为在模型不确定性下的大数定律提供了严格的理论基础，将其有效性扩展至加性概率测度之外。