[論文レビュー] A New Class of Conservative Large Time Step Methods for the BGK Models of the Boltzmann Equation

Pietro Santagati, Giovanni Russo|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2011

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 29被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、ボルツマン方程式のBGKモデルに対する、保存的で高次精度、大時間ステップが可能な半ラグランジュ法の新規クラスを提案する。ラグランジュ的定式化と、緩和項に用いる対角的陰的ルンゲ＝クッタ（DIRK）時間積分を組み合わせることで、CFL安定性制限が解消され、希薄気体および流体領域の両方で安定かつ高精度なシミュレーションが可能となり、高い効率と最小限の保存誤差を実現する。

ABSTRACT

This work is aimed to develop a new class of methods for the BGK model of the Boltzmann equation. This technique allows to get high order of accuracy both in space and time, theoretically without CFL stability limitation. It's based on a Lagrangian formulation of the problem: information is stored on a fixed grid in space and velocity, and the equation is integrated along the characteristics. The source term is treated implicitly by using a DIRK (Diagonally Implicit Runge Kutta) scheme in order to avoid the time step restriction due to the stiff relaxation. In particular some L-stable schemes are tested by smooth and Riemann problems, both in rarefied and fully fluid regimes. Numerical results show good accuracy and efficiency of the method.

研究の動機と目的

• 従来のスキームで一般的に見られるCFL安定性制限を克服する、ボルツマン方程式のBGKモデルのための数値解法を開発すること。
• 空間および時間で高次精度を達成するとともに、大時間ステップでも安定性を維持すること。
• 特に流体力学的極限において極めて重要な、離散的定式化における質量、運動量、エネルギーの保存を保証すること。
• Knudsen数の広い範囲で滑らかでない流れ（例えば衝撃波）を高精度にシミュレートできること。
• MEMS やマイクロ流体工学などの実世界の問題に応用可能な、将来的な多次元拡張の基盤を提供すること。

提案手法

• BGK方程式を半ラグランジュフレームワークに定式化し、特徴線に沿って積分することでCFL条件を回避する。
• 高次WENO再構成を用いて、特徴線軌跡から格子点における分布関数を高精度に再構成する。
• 剛性のある緩和項を陰的に取り扱うために、対角的陰的ルンゲ＝クッタ（DIRK）スキームを適用し、緩和時間が短い場合でも安定性を確保する。
• 物理空間および速度空間に固定された直交格子を用い、格子節点に分布関数を格納する。
• モーメント（密度、運動量、エネルギー）の離散的保存を強制することで、完全に保存的なバージョンを実装する。
• L安定性を有するDIRKスキームを用いることで、緩和時間が非常に短い（流体極限に近い）場合でも、精度と安定性を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 緩和項を陰的に取り扱う半ラグランジュ法が、CFL制限なしに高次精度と安定性を達成できるか。
• RQ2 希薄気体および流体力学的領域の両方で、特に衝撃波のような不連続解に対して、この手法はどのように性能を発揮するか。
• RQ3 非保存的バージョンでは保存誤差がどの程度蓄積されるか。保存的定式化により、その誤差は効果的に抑制できるか。
• RQ4 時間ステップやCFL数を変化させた場合の収束性と精度はいかに変化するか。特に大きなCFL値での挙動は。
• RQ5 緩和時間τが非常に小さくなる（流体極限に近づく）場合でも、この手法は高精度と安定性を維持できるか。

主な発見

• 滑らかな流れに対して、空間および時間で2次精度を達成し、グリッドを細かくした場合の収束次数は密度、速度、温度の各変数で約2.7〜2.8に達する。
• リーマン問題のテストでは、CFL数が10.5に達するまででも衝撃構造の高解像度を維持でき、グリッド解像度を2倍にした際、相対L2誤差が1桁減少した。
• 非保存的バージョンでは保存誤差が非常に小さい。τ = 10⁻²の場合、Nₓ = 1280でも密度、運動量、エネルギーの相対誤差が10⁻⁴未満であり、グリッドの細分化に伴い減少する。
• 保存的バージョンでは、τ = 10⁻⁶およびNₓ = 1280の条件下で質量、運動量、エネルギーを機械精度に近い精度で保存し、誤差は10⁻⁸未満に保たれた。
• エントロピーの時間発展は単調的かつ物理的に整合的であり、希薄気体および流体領域の両方で熱力学第二法則を満たしていることを確認した。
• CFL = 10.5などの大きなCFL値でも、数値的拡散や振動が観測されず、安定かつ高精度に保たれる。これは、古典的な陽的スキームとは対照的である。