[論文レビュー] A new class of efficient and robust energy stable schemes for gradient flows

Jie Shen, Jie Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2017

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 39被引用数 39

ひとこと要約

本稿では、勾配流れのための無条件エネルギー安定で、線形かつ高次精度の数値スキームを構築するために、新規なスカラーアシスタント変数（SAV）手法を導入する。非線形項をスカラーアシスタント変数によって分離することで、定数係数を持つ線形系の効率的解法が可能となり、第二階層の精度が無条件に達成され、安定した性能を示す高次BDFスキームの構築が可能になる。特に、時間ステップを適応的に制御する手法と組み合わせることで優れた性能を発揮する。

ABSTRACT

We propose a new numerical technique to deal with nonlinear terms in gradient flows. By introducing a scalar auxiliary variable (SAV), we construct efficient and robust energy stable schemes for a large class of gradient flows. The SAV approach is not restricted to specific forms of the nonlinear part of the free energy, and only requires to solve {\it decoupled} linear equations with {\it constant coefficients}. We use this technique to deal with several challenging applications which can not be easily handled by existing approaches, and present convincing numerical results to show that our schemes are not only much more efficient and easy to implement, but can also better capture the physical properties in these models. Based on this SAV approach, we can construct unconditionally second-order energy stable schemes; and we can easily construct even third or fourth order BDF schemes, although not unconditionally stable, which are very robust in practice. In particular, when coupled with an adaptive time stepping strategy, the SAV approach can be extremely efficient and accurate.

研究の動機と目的

• エネルギー安定性を保ちながら、勾配流れを効率的かつ強固に解くための数値フレームワークを構築すること。
• 凸分割法や安定化法といった従来手法の限界、すなわち非線形系の解法や制限された時間ステップの必要性を克服すること。
• 非線形性を保ちつつエネルギー安定性と線形系構造を維持したまま、第二、第三、第四階層の精度を達成すること。
• 非局所的または複数積分自由エネルギー項を含む複雑なモデルへの適用可能性を拡張すること。
• 定数係数を持つ分離可能な線形系を用いることで、実装の簡便性を高めること。

提案手法

• 自由エネルギーの非線形部分の平方根として定義されるスカラーアシスタント変数（SAV）を導入し、元の系を等価な系に変換する。
• SAVと元の変数を分離することで、定数係数を持つ線形方程式に変換された新たな勾配流れの系を定式化する。
• SAVアプローチを用いて、無条件に第二階層エネルギー安定スキームを構築し、それを高次BDFスキームに拡張する。
• 離散エネルギー法が連続系と類似するように保証することでエネルギー安定性を確立し、SAVが非線形エネルギー寄与を捉えるようにする。
• 各時間ステップで非線形系の解法を回避し、定数行列を持つ線形系のみを解くことで、計算の効率性を確保する。
• SAVフレームワークに適応的時間ステッピングを統合し、長時間シミュレーションにおける効率性と精度を向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形系の解法を各時間ステップで行わず、広範な勾配流れクラスに対して無条件エネルギー安定性を保証する新しい数値手法を考案できるか？
• RQ2 第三階層および第四階層の精度を達成しながら、エネルギー安定性と線形構造を維持する勾配流れスキームにおいて、どのように実現できるか？
• RQ3 IEQ法や凸分割法と比較して、SAVアプローチは非局所的または複数積分自由エネルギー項をより効果的に扱えるか？
• RQ4 適応的時間ステッピングは、長時間シミュレーションにおけるSAVベーススキームの効率性と精度にどのような影響を与えるか？
• RQ5 従来のスキーム、例えば凸分割法や安定化法と比較して、SAV法の性能と安定性はどのように異なるか？

主な発見

• SAVアプローチにより、非線形系の解法を回避することができ、凸分割法よりもはるかに効率的かつ実装が容易な、無条件第二階層エネルギー安定スキームが得られる。
• この手法により、アレン＝チャンとカーン＝ヒルヤール方程式を含む、広範な勾配流れのクラスに対して、無条件安定で線形的かつ第二階層のスキームを構築できる。
• SAVフレームワークに基づく第三および第四階層BDFスキームは、無条件安定ではないものの、実用的に安定であることが示された。
• 数値結果から、特に適応的時間ステッピングを用いる場合、SAV法は第二階層BDFスキームよりも高い精度を達成することが明らかになった。
• SAVアプローチは、非局所的自由エネルギー項や複数積分項を含むモデルにも適用可能であり、IEQ法の適用範囲をはるかに超える。
• 適応的時間ステッピングと組み合わせることで、SAVスキームは極めて効率的かつ高精度となり、長時間シミュレーションにおいて標準的手法を上回る性能を発揮した。