[論文レビュー] A new gap phenomenon for proper holomorphic mappings from B^n into B^N

Jimmy Xiangji Huang, Shanyu Ji+1 more|ArXiv.org|May 2, 2006

Holomorphic and Operator Theory参考文献 11被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、退化したランクをもつ複素球間の正則的で固有な写像に対して擬似正規形を確立し、幾何的ランクが1である写像の完全な特徴付けを可能にする。主な結果は、$\mathbf{B}^n$ から $\mathbf{B}^N$ への任意の有理的で固有な正則写像が $4 \leq n \leq N \leq 3n-4$ を満たす場合、D’Angelo写像に同値であることを示しており、このような写像の分類における新たなギャップ現象を明らかにする。

ABSTRACT

In this paper (Math. Res. Lett. 13 (2006). No 4, 509-523), the authors established a pseudo-normal form for proper holomoprhic mappings between balls in complex spaces with degenerate rank. This then was used to give a complete characterization for all proper holomorphic maps with geometric rank one, which, in particular, includes the following as an immediate application: Theorem: Any rational holomorphic map from B^n into B^N with $4\le n\le N\le 3n-4$ is equivalent to the D'Angelo map $$F_θ(z',w)=(z',(\cosθ)w,(\sinθ)z_1w, ..., (\sinθ)z_{n-1}w, (\sinθ)w^2, 0'), 0\le θ\leq π/2.$$ It is a well-known (but also quite trivial) fact that any non-constant rational CR map from a piece of the sphere $\partial {B^n}$ into the sphere $\partial {B^N}$ can be extended as a proper rational holomoprhic map from $B^n$ into $B^N$ ($N\ge n\ge 2$). By using the rationality theorem that the authors established in [HJX05], one sees that the the above theorem (and also the main theorem of the paper) holds in the same way for any non-constant $C^3$-smooth CR map from a piece of $\partial {B^n}$ into $\partial{B^N}$. The paper [Math. Res. Lett. 13 (2006). No 4, 509-523] was first electronically published by Mathematical Research Letters several months ago at its home website: http://www.mrlonline.org/mrl/0000-000-00/Huang-Ji-Xu2.pdf. (The pdf file of the printed journal version can also be downloaded at http://www.math.uh.edu/~shanyuji/rank1.pdf).

研究の動機と目的

• 幾何的ランクが退化している場合の複素球間の固有な正則写像の構造を理解すること。
• $4 \leq n \leq N \leq 3n-4$ の中間次元範囲において、$\mathbf{B}^n$ から $\mathbf{B}^N$ への有理的で固有な正則写像の分類問題に取り組むこと。
• 退化したランクをもつ写像のための擬似正規形を確立し、ランク1の場合の完全な分類を可能にすること。
• [HJX05] の有理化定理を用いて、有理的写像から $C^3$-滑らかくCR写像への結果の拡張を行うこと。
• 非線形的固有な正則写像が存在する次元範囲において、新たなギャップ現象を同定すること。

提案手法

• 退化した幾何的ランクをもつ複素球間の固有な正則写像のための擬似正規形を開発すること。
• 擬似正規形を用いて、幾何的ランクが1の写像の構造を分析すること。
• [HJX05] の有理化定理を応用し、有理的写像から $C^3$-滑らかくCR写像への結果の拡張を行うこと。
• CR幾何学とヘルミート形式の技術を用いて、このような写像の剛性および正規形を分析すること。
• D’Angelo写像の構造を他の可能な有理的で固有な写像と比較し、同値を除いて一意であることを示すこと。
• 既知の固有な正則写像およびCR写像に関する結果を活用し、指定された次元範囲におけるギャップ現象を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的ランクが1である $\mathbf{B}^n$ から $\mathbf{B}^N$ への固有な正則写像の完全な分類は何か？
• RQ2 $4 \leq n \leq N \leq 3n - 4$ の次元範囲において、有理的で固有な正則写像の可能な形態は何か？
• RQ3 有理的で固有な写像の分類を、球面間の $C^3$-滑らかくCR写像へと拡張できるか？
• RQ4 D’Angelo写像は、与えられた次元範囲におけるすべてのこのような写像を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 この中間次元領域における固有な正則写像の分類において、新たなギャップ現象は何か？

主な発見

• すべての有理的で固有な正則写像 $\mathbf{B}^n$ から $\mathbf{B}^N$ への写像で $4 \leq n \leq N \leq 3n - 4$ を満たすものは、D’Angelo写像 $F_\theta$ に同値である。
• D’Angelo写像 $F_\theta$ は、$\theta \in [0, \pi/2]$ によってパラメトライズされる、このような写像の唯一の正規形である。
• この分類は有理的写像に限らず、$\partial\mathbf{B}^n$ の一部から $\partial\mathbf{B}^N$ への $C^3$-滑らかなCR写像に対しても成り立つ。
• 新たなギャップ現象が確立された：$4 \leq n \leq N \leq 3n - 4$ の次元範囲では、D’Angelo族以外の有理的で固有な正則写像は存在しない。
• 擬似正規形の構成は、幾何的ランク1の場合を的確に捉え、完全な分類を可能にした。
• 本研究の結果は、既存の固有な正則写像に関する研究を拡張し、中間次元領域における剛性性を確認した。