[논문 리뷰] A new Generalized fractional derivative and integral

Abdullah Akkurt, M. Esra Yıldırım외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 21.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 5인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 임의의 커널 함수 $k(t)$를 통해 정의된 새로운 일반화된 분수계 도함수와 적분을 소개한다. 이는 이전의 일관된 분수계 미적분 프레임워크를 통합하고 확장한다. 도함수의 닫힌 형태 표현을 유도하고, 곱의 법칙, 연쇄법칙, 평균값 정리와 같은 고전적 미적분 법칙을 증명함으로써, $\alpha \to 1$ 이며 $k(t) = t$일 때 고전적 도함수로 수렴하는 일관되고 미분 가능한 프레임워크를 구축한다. 주요 기여는 커널에 의존하는 가중치를 갖는 분수적 적분에 대한 일반화된 평균값 정리이다.

ABSTRACT

In this article, we introduce a new general definition of fractional derivative and fractional integral, which depends on an unknown kernel. By using these definitions, we obtain the basic properties of fractional integral and fractional derivative such as Product Rule, Quotient Rule, Chain Rule, Roll's Theorem and Mean Value Theorem. We give some examples.

연구 동기 및 목표

• 기존의 일관된 분수계 미적분 정의를 일반화하는 새로운 분수도함수 및 적분 프레임워크를 개발하는 것.
• 고전적 분수도함수가 곱의 법칙, 연쇄법칙, 평균값 정리를 충족하지 못하는 등의 한계를 해결하기 위해, 커널에 의존하는 정의를 도입하는 것.
• Khalil 등, Almeida 등, Katugampola의 이전 연구를 하나의 민첩한 커널 기반 정의로 통합하고 확장하는 것.
• 제안된 도함수가 $k(t)$에 대한 약간의 정규성 조건 하에서 롤의 정리 및 평균값 정리와 같은 기본적인 미적분 법칙을 충족함을 증명하는 것.

제안 방법

• 한정 정의를 통한 새로운 분수도함수 제안: $ D^\alpha(f)(t) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{f\left(t - k(t) + k(t)e^{\epsilon \frac{(k(t))^{-\alpha}}{k'(t)}}\right) - f(t)}{\epsilon} $, 여기서 $k(t)$는 양수이며 연속적으로 미분 가능한 함수이다.
• 닫힌 형태 표현 유도: $ f^{(\alpha)}(t) = \frac{(k(t))^{1-\alpha}}{k'(t)} \frac{df}{dt}(t) $, 이는 일반화된 도함수를 고전적 도함수와 연결한다.
• 가중치 $ \frac{k'(x)}{(k(x))^{1-\alpha}} $를 통한 일반화된 분수적 적분 도입으로, 커널에 의존하는 측도를 갖는 $[a,b]$ 위에서의 적분을 가능하게 한다.
• 일반화된 평균값 정리 수립: $ \int_a^b \frac{f(x)k'(x)}{(k(x))^{1-\alpha}} dx = f(x_0) \left( \frac{k^\alpha(b) - k^\alpha(a)}{\alpha} \right) $, 여기서 $x_0 \in [a,b]$ 이다.
• 유도된 닫힌 형태 및 적분 표현을 사용하여, 새로운 프레임워크 내에서 곱의 법칙, 몫의 법칙, 연쇄법칙, 롤의 정리를 증명한다.
• 예시를 통한 검증을 통해 $k(t) = t$ 이며 $\alpha \to 1$일 때 기존의 경우와의 일관성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 커널 함수 $k(t)$를 사용하여, $\alpha \to 1$일 때 고전적 도함수로 수렴하는 일반화된 분수도함수를 정의할 수 있는가?
• RQ2 제안된 도함수가 곱의 법칙, 연쇄법칙, 평균값 정리와 같은 고전적 미적분 법칙을 충족하는가?
• RQ3 일반화된 분수적 적분은 선형성, 가법성, 단조성과 같은 표준 적분 성질을 어떻게 만족하는가?
• RQ4 커널에 의존하는 가중치를 갖는 새로운 분수적 적분에 대해 일반화된 평균값 정리를 수립할 수 있는가?
• RQ5 일반화된 도함수와 고전적 도함수 사이의 관계는 무엇이며, 이는 커널 $k(t)$에 어떻게 의존하는가?

주요 결과

• 일반화된 분수도함수는 닫힌 형태 표현을 갖는다: $ f^{(\alpha)}(t) = \frac{(k(t))^{1-\alpha}}{k'(t)} \frac{df}{dt}(t) $, 이는 분석과 계산을 단순화한다.
• 일반화된 분수도함수는 $k(t) = t$일 때 Khalil 등이 도입한 일관된 도함수로 수렴함을 확인하여 이전 연구와의 일관성을 입증한다.
• 일반화된 분수적 적분은 모든 표준 적분 성질을 만족한다: 선형성, 가법성, 부호 유지성, 절댓값 부등식.
• 일반화된 평균값 정리가 증명되었다: $ \int_a^b \frac{f(x)k'(x)}{(k(x))^{1-\alpha}} dx = f(x_0) \cdot \frac{k^\alpha(b) - k^\alpha(a)}{\alpha} $, 여기서 $x_0 \in [a,b]$ 이다. 이는 고전적 결과를 일반화한다.
• 이 프레임워크는 곱의 법칙, 몫의 법칙, 연쇄법칙, 롤의 정리를 모두 충족하여 이전의 분수미적분 정의에서의 주요 한계를 해결한다.
• $\alpha = 1$ 이며 $k(t) = t$일 때 고전적 평균값 정리가 복원되며, 고전적 미적분과의 일관성을 확인한다.