[論文レビュー] A new path from splay to dynamic optimality

Caleb Levy, Robert E. Tarjan|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2019

Optimization and Search Problems参考文献 23被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、二分探索木におけるSplayアルゴリズムの動的最適性予想を証明するための新しいフレームワーク—シミュレーション埋め込み—を提案する。Splayが部分列性を満たす（すなわち、そのコストがすべての部分列を上限で抑え込む）ことを示すことにより、この性質が成り立つならばSplayは動的最適であることが確立され、さらにその加法的オーバーヘッドが初期の木のサイズとリクエスト数の和に対して線形であることが示されている。

ABSTRACT

Consider the task of performing a sequence of searches in a binary search tree. After each search, an algorithm is allowed to arbitrarily restructure the tree, at a cost proportional to the amount of restructuring performed. The cost of an execution is the sum of the time spent searching and the time spent optimizing those searches with restructuring operations. This notion was introduced by Sleator and Tarjan in 1985 [27], along with an algorithm and a conjecture. The algorithm, Splay, is an elegant procedure for performing adjustments while moving searched items to the top of the tree. The conjecture, called dynamic optimality, is that the cost of splaying is always within a constant factor of the optimal algorithm for performing searches. The conjecture stands to this day.We offer the first systematic proposal for settling the dynamic optimality conjecture. At the heart of our methods is what we term a simulation embedding: a mapping from executions to lists of keys that induces a target algorithm to simulate the execution. We build a simulation embedding for Splay by inducing it to perform arbitrary subtree transformations, and use this to show that if the cost of splaying a sequence of items is an upper bound on the cost of splaying every subsequence thereof, then Splay is dynamically optimal. We call this the subsequence property. Building on this machinery, we show that if Splay is dynamically optimal, then with respect to optimal costs, its additive overhead is at most linear in the sum of initial tree size and number of requests. As a corollary, the subsequence property is also a necessary condition for dynamic optimality. The subsequence property also implies both the traversal [27] and deque [30] conjectures.The notions of simulation embeddings and bounding additive overheads should be of general interest in competitive analysis. For readers especially interested in dynamic optimality, we provide an outline of a proof that a lower bound on search costs by Wilber [32] has the subsequence property, and extensive suggestions for adapting this proof to Splay.

研究の動機と目的

• 二分探索木におけるSplayアルゴリズムの長年の動的最適性予想を解決すること。
• シミュレーション埋め込みを用いた自己整理型探索木アルゴリズムの競合性分析の形式的フレームワークを確立すること。
• Splayのコストがすべての部分列を上限で抑え込むという部分列性が、動的最適性にとって十分かつ必要であることを示すこと。
• Splayの最適アルゴリズムに対する加法的オーバーヘッドを特定し、初期木サイズとリクエスト数の和に関して線形であることを示すこと。
• 部分列性を他の主要な予想、特にトレバーシング予想およびデューコンジェクチャと関連付けること。

提案手法

• シミュレーション埋め込みの概念を導入：木の実行シーケンスからキーのリストへの写像であり、それがターゲットアルゴリズムが実行をシミュレートするのを可能にする。
• Splay用のシミュレーション埋め込みを構築し、任意の部分木変換を可能にすることで、Splayが任意の再構成操作のシーケンスをエミュレートできるようにする。
• Splayのコストがリクエストシーケンスのすべての部分列のコストを上限で抑え込むならば、Splayは動的最適であることを証明する。
• シミュレーション埋め込みフレームワークを用いて、Splayの最適アルゴリズムに対する加法的オーバーヘッドの上界を導出する。
• 部分列性がトレバーシング予想およびデューコンジェクチャをともに含むことを示す。
• ウィルバーの探索コスト下界が部分列性を満たすことを示すことで、Splayの動的最適性を示す証明戦略を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シミュレーション埋め込みに基づく新しい構造的フレームワークを用いて、動的最適性予想を証明できるか？
• RQ2 Splayのコストがすべての部分列を上限で抑え込むという部分列性が、動的最適性にとって十分かつ必要であるか？
• RQ3 Splayの最適アルゴリズムに対する加法的オーバーヘッドは何か？ そして、初期木サイズとリクエスト数の和に関して上界を示せるか？
• RQ4 ウィルバーの探索コスト下界が部分列性を満たすか？ これによりSplayの動的最適性の証明が可能になるか？
• RQ5 部分列性を活用してトレバーシング予想およびデューコンジェクチャを証明できるか？

主な発見

• 部分列性はSplayの動的最適性にとって十分かつ必要である：Splayのコストがすべての部分列を上限で抑え込むならば、Splayは動的最適である。
• Splayの最適アルゴリズムに対する加法的オーバーヘッドは、初期木サイズとリクエスト数の和に関して線形である。
• シミュレーション埋め込みフレームワークにより、Splayは任意の部分木変換を実行でき、任意の再構成操作のシーケンスをエミュレートするメカニズムが提供される。
• 部分列性はトレバーシング予想およびデューコンジェクチャの両方を含むことを示し、長年の未解決問題を統合する。
• ウィルバーの探索コスト下界は部分列性を満たしており、Splayの動的最適性の証明をこの下界を適応することで構築できる可能性を示唆する。
• シミュレーション埋め込みと加法的オーバーヘッドの上界を求めるフレームワークは、Splayアルゴリズムを越えた競合性分析の一般化されたツールを提供する。