[論文レビュー] A new proof for the Erd\H{o}s-Ko-Rado Theorem for the alternating group

Bahman Ahmadi, Karen Meagher|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2013

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 8被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、代数的群論と関連スキームのクリーク・コクリーク境界を用いて、交代群 $\operatorname{Alt}(n)$ におけるErdös-Ko-Rado定理の新しい代数的証明を提示する。$n \geq 5$ のとき、$\operatorname{Alt}(n)$ の任意の交差集合のサイズは $\frac{(n-1)!}{2}$ 以下であり、等号成立は点安定化子の陪集合である場合に限る。これにより、$\operatorname{Alt}(n)$ における厳密EKR性質が裏付けられる。

ABSTRACT

A subset $S$ of the alternating group on $n$ points is {\\it intersecting} if for any pair of permutations $\\pi,\\sigma$ in $S$, there is an element $i\\in \\{1,\\dots,n\\}$ such that $\\pi(i)=\\sigma(i)$. We prove that if $S$ is intersecting, then $|S|\\leq \\frac{(n-1)!}{2}$. Also, we prove that if $n \\geq 5$, then the only sets $S$ that meet this bound are the cosets of the stabilizer of a point of $\\{1,\\dots,n\\}$.

研究の動機と目的

• 代数的群論と関連スキームを用いて、交代群 $\operatorname{Alt}(n)$ におけるErdös-Ko-Rado定理の別証明を提供すること。
• $\operatorname{Alt}(n)$ における厳密EKR性質を確立し、最大交差集合が点安定化子の陪集合に一致することを示すこと。
• $\operatorname{Sym}(n)$ における厳密EKR性質が、$\operatorname{Alt}(n)$ の厳密EKR性質から導かれることを示すこと。
• 交代群 $\operatorname{Alt}(n)$ の交差グラフにおけるクリーク・コクリーク境界を、群代数の非可約キャラクターと射影元を用いて応用すること。

提案手法

• $G = \operatorname{Alt}(n)$ の誘導グラフ $\Gamma_G$ を構成する。頂点は群の元であり、互いに互いの誘導置換であるペア間に辺が引かれる。
• 関連スキームにおけるクリーク・コクリーク境界を $\Gamma_G$ に適用し、$\operatorname{Alt}(n)$ の非可約キャラクター $\chi$ に関連する射影元 $E_\chi$ を用いる。
• 最大独立集合 $S$ が $\Gamma_G$ において交差集合に対応することを用い、非可約表現に基づいて特性ベクトル $v_S$ を分析する。
• 標準表現を用いて $v_S$ を成分に分解し、ランクとスパム解析により $v_S$ が点安定化子の特性ベクトルでなければならないことを示す。
• $\operatorname{Alt}(n)$ が固定点集合に作用するもとで得られる行列 $M$ のフルランク性に依存し、$v_S$ がちょうど1つの1を持つ01ベクトルであることが導かれる。これにより $S$ が点安定化子であることが示される。
• 証明は $\operatorname{Alt}(n)$ の推移的かつ2重推移的性質に依存し、部分群 $H \leq G$ に対して $\Gamma_H$ と $\Gamma_G$ の間の同型写像を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n \geq 5$ のとき、交代群 $\operatorname{Alt}(n)$ における交差集合の最大サイズは何か？
• RQ2 どの交差集合が最大サイズに達するか。それらは点安定化子の陪集合に限られるか？
• RQ3 $\operatorname{Sym}(n)$ における厳密Erdös-Ko-Rado性質は、$\operatorname{Alt}(n)$ の厳密EKR性質から導けるか？
• RQ4 関連スキームにおけるクリーク・コクリーク境界を、非可約表現を用いて $\operatorname{Alt}(n)$ におけるEKR定理を証明する際にどのように応用できるか？

主な発見

• $n \geq 5$ のとき、$\operatorname{Alt}(n)$ の任意の交差集合のサイズは $\frac{(n-1)!}{2}$ 以下であり、これは点安定化子のサイズに一致する。
• この上限に達する唯一の交差集合は、$\{1,\dots,n\}$ 内の1点の安定化子の陪集合であり、これにより $\operatorname{Alt}(n)$ における厳密EKR性質が裏付けられる。
• 誘導グラフ $\Gamma_{\operatorname{Alt}(n)}$ の最大独立集合の特性ベクトルは、ランクとスパム解析により点安定化子の特性ベクトルでなければならない。
• 証明により、固定点集合への $\operatorname{Alt}(n)$ の作用から得られる行列 $M$ はフルランクであることが示され、分解におけるベクトル $w$ が0でなければならない。
• 誘導グラフの構造とその射影元 $E_\chi$ により、最大独立集合は点安定化子に対応するものに限られることが保証される。
• $\operatorname{Sym}(n)$ における厳密EKR性質は、$\operatorname{Alt}(n)$ と $\operatorname{Sym}(n)$ の誘導グラフ間の同型写像を用いたホモモーフィズムによる議論により、$\operatorname{Alt}(n)$ の厳密EKR性質から導かれる。