[論文レビュー] A new quantum version of f-divergence

Keiji Matsumoto|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2013

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 22被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、逆テスト（完全正則トレース保存写像）を介して与えられた量子状態のペアを生成するのに必要な最小古典的f-発散度として定義される、新しい量子f-発散度$ olimits\mathrm{D}_{f}^{ \max}( ho \|\sigma )$を導入する。主な貢献は、$f$ が作用素凸であるか、一方の状態が純粋状態である場合の$ \mathrm{D}_{f}^{ \max}$ の閉形式表現であり、測定によって誘発されるf-発散度が$ \mathrm{D}_{f}^{ \max}$ よりも厳密に小さいことを示し、量子符号化における古典的発散度の回復不能な損失を明らかにする。

ABSTRACT

This paper proposes and studies new quantum version of $f$-divergences, a class of convex functionals of a pair of probability distributions including Kullback-Leibler divergence, Rnyi-type relative entropy and so on. There are several quantum versions so far, including the one by Petz. We introduce another quantum version ($\mathrm{D}_{f}^{\max}$, below), defined as the solution to an optimization problem, or the minimum classical $f$- divergence necessary to generate a given pair of quantum states. It turns out to be the largest quantum $f$-divergence. The closed formula of $\mathrm{D}_{f}^{\max}$ is given either if $f$ is operator convex, or if one of the state is a pure state. Also, concise representation of $\mathrm{D}_{f}^{\max}$ as a pointwise supremum of linear functionals is given and used for the clarification of various properties of the quality. Using the closed formula of $\mathrm{D}_{f}^{\max}$, we show: Suppose $f$ is operator convex. Then the\ maximum $f\,$- divergence of the probability distributions of a measurement under the state $ρ$ and $σ$ is strictly less than $\mathrm{D}_{f}^{\max}\left( ρ\Vertσ ight) $. This statement may seem intuitively trivial, but when $f$ is not operator convex, this is not always true. A counter example is $f\left( λ ight) =\left\vert 1-λ ight\vert $, which corresponds to total variation distance. We mostly work on finite dimensional Hilbert space, but some results are extended to infinite dimensional case.

研究の動機と目的

• 与えられた量子状態ペアに対して、すべての可能な量子f-発散度の中で最大であるような新しい量子f-発散度を定義すること。
• $\mathrm{D}_{f}^{\max}(\rho\|\sigma)$ を、古典的分布から$\rho, \sigma$ を生成する逆テスト（CP写像）を伴う最適化問題の解として特徴付けること。
• $f$ が作用素凸であるか、一方の状態が純粋状態である場合の$\mathrm{D}_{f}^{\max}$ の閉形式表現を確立すること。
• 測定によって誘発されるf-発散度が常に$\mathrm{D}_{f}^{\max}$ よりも厳密に小さいことの証明により、$\mathrm{D}_{f}^{\max}$ の操作的意味を明確化し、量子符号化における古典的発散度の回復不能な損失を明らかにすること。

提案手法

• $\mathrm{D}_{f}^{\max}(\rho\|\sigma)$ を、古典的分布$p, q$ から$\rho, \sigma$ を生成するすべての逆テスト（CP写像）のうち、古典的f-発散度$\mathrm{D}_{f}(p\|q)$ の下界として定義する。
• スペクトル分解と非可換パースペクティブを用いて、$f$ が作用素凸で、$\sigma$ がゼロブロックを含むブロック対角形である場合の$\mathrm{D}_{f}^{\max}$ の閉形式表現を導出する。
• $\mathrm{D}_{f}^{\max}$ を測度空間上の線形汎関数の点毎の上界として表現し、双対性に基づく解析を可能にする。
• 作用素凸$f$ に対して、すべての測定における最大f-発散度が$\mathrm{D}_{f}^{\max}(\rho\|\sigma)$ よりも厳密に小さいことを、双対性とトレースクラスの性質を用いて証明する。
• 一方の状態が純粋状態である場合に一般化された閉形式表現を導出し、作用素凸の場合を超えて結果を拡張する。
• 関数計算と作用素凸性の定理（例：[2], [3], [12] より）を用いて、$\mathrm{D}_{f}^{\max}$ の構造的性質と$f$ のアフィン変換に対する不変性を正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた量子状態ペアから得られる、可能な限り最大の量子f-発散度は何か？
• RQ2 測定によって誘発されるf-発散度は、最大量子f-発散度$\mathrm{D}_{f}^{\max}$ とどのように比較されるか？
• RQ3 $f$ が作用素凸であるか、一方の状態が純粋状態である場合に、$\mathrm{D}_{f}^{\max}$ の閉形式表現を導出できるか？
• RQ4 $\mathrm{D}_{f}^{\max}$ は$f$ のアフィン変換に対して不変か？ その不変性はその操作的解釈にどのように影響するか？
• RQ5 逆テスト（CP写像）は、$\mathrm{D}_{f}^{\max}$ を、$\rho, \sigma$ を生成するために必要な最小古典的f-発散度として特徴付ける上で果たす役割は何か？

主な発見

• 作用素凸$f$ に対して、$\mathrm{D}_{f}^{\max}(\rho\|\sigma)$ は閉形式で表される：$\mathrm{tr}\,\sigma\,f(\sigma^{-1/2}\tilde{\rho}\sigma^{-1/2}) + \mathrm{tr}(\rho - \tilde{\rho})\lim_{\varepsilon \downarrow 0} \varepsilon f(1/\varepsilon)$、ここで$\tilde{\rho}$ は$\sigma$ における$\rho$ のシュール補行列である。
• 最適な逆テスト（$\mathrm{D}_{f}^{\max}$ を達成するもの）は、自明な冗長性を除いて一意であり、$f$ が作用素凸である限り、$f$ に依存しない。
• 作用素凸$f$ の場合、すべての測定における最大f-発散度は、$\mathrm{D}_{f}^{\max}(\rho\|\sigma)$ よりも厳密に小さい。これは、量子符号化における古典的発散度の不可逆的損失を示している。
• $f(r) = |1 - r|$ は作用素凸でないが、この場合、測定によって誘発されるf-発散度が$\mathrm{D}_{f}^{\max}$ に等しくなることがある。これは、厳密な不等号が作用素凸性に依存することを示している。
• $\mathrm{D}_{f}^{\max}(\rho\|\sigma)$ は、線形汎関数の点毎の上界として表現可能であり、双対性に基づく解析や主要な性質の証明を可能にする。
• $\mathrm{D}_{f}^{\max}$ はアフィン不変性を満たす：$f_1(r) = f(r) - ar - b \geq 0$ ならば、$\mathrm{D}_{f}^{\max}(\rho\|\sigma) = \mathrm{D}_{f_1}^{\max}(\rho\|\sigma) + a\mathrm{tr}\rho + b\mathrm{tr}\sigma$ が成り立ち、その操作的意味が保たれる。