[論文レビュー] A New Riemannian Setting for Surface Registration

Martin Bauer, Martins Bruveris|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2011

3D Shape Modeling and Analysis参考文献 18被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、LDDMM で用いられる周囲空間の微分同相に依存するのではなく、表面に内在する変位ベクトル場にSobolev型ノルムに基づく内挿的計量を用いる、表面登録のための新しいリーマンフレームワークを提案する。この手法により、有限要素法を用いた測地線シューティングと勾配計算が可能となり、形状空間における負の曲率を示し、合成表面におけるKarcher平均の正確な計算が可能である。

ABSTRACT

We present a new approach for matching regular surfaces in a Riemannian setting. We use a Sobolev type metric on deformation vector fields which form the tangent bundle to the space of surfaces. In this article we compare our approach with the diffeomorphic matching framework. In the latter approach a deformation is prescribed on the ambient space, which then drags along an embedded surface. In contrast our metric is defined directly on the deformation vector field and can therefore be called an inner metric. We also show how to discretize the corresponding geodesic equation and compute the gradient of the cost functional using finite elements.

研究の動機と目的

• 表面に内在する計量に基づくリーマンフレームワークを構築し、周囲空間の変形に依存しない表面登録を実現すること。
• 外計量に基づく標準的なLDDMMフレームワークと比較して、提案された内計量アプローチの有効性を検証すること。
• 形状空間における非線形統計的解析（例：測地線平均の計算、曲率の測定）を可能にすること。
• 有限要素法を用いた測地線方程式と勾配計算の数値的に安定な離散化を提供すること。
• 本手法の実行可能性と幾何的性質が、さまざまなトポロジーを持つ合成表面において有効であることを実証すること。

提案手法

• 表面に制限された接ベクトル場にSobolev型ノルムを用いて、表面空間上のリーマン計量を定義し、滑らかさと正則性を保証すること。
• テンプレート表面とターゲット表面間の変形エネルギーを最小化する測地線の探索として登録問題を定式化すること。
• 三角形メesh上の数値計算を可能にするために、測地線方程式を有限要素法で離散化すること。
• 測地線シューティングフレームワークから導出された随伴方程式を用いて、初期速度に関するマッチング汎関数の勾配を計算すること。
• 計算された勾配を用いて、反復的に初期速度を調整することでターゲット表面に一致するように測地線シューティングを実装すること。
• Karcher平均アルゴリズムを用いて、反復的な測地線シューティングにより複数の表面のリーマン平均を計算すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Sobolev型ベクトル場に基づく内計量は、標準的なLDDMMフレームワーク（外計量）と比較して、幾何的一致性と数値的挙動においてどのように異なるか。
• RQ2 提案された内計量フレームワークは、測地線平均の計算を含む形状空間における完全な非線形統計的解析をサポートできるか。
• RQ3 この内計量下での形状空間の固有曲率は何か。また、それは測地線の挙動にどのように影響するか。
• RQ4 パラメトリック表面において、測地線方程式とコスト汎関数の勾配を有限要素法で効果的に離散化・解法可能か。
• RQ5 パラメトリゼーションに依存しないマッチング汎関数を選択することで、本手法をパラメトリゼーションのない表面へ拡張可能か。

主な発見

• 非対称なトーラス3つからなる測地線三角形の内角の和は103.243°であった。これは形状空間のその領域に負の曲率が存在することを示している。
• トーラス間の測地線に沿った中点がわずかに収縮しており、負の曲率と測地線の収束が確認された。
• 5つのヴァース型表面のKarcher平均は4反復で正常に計算され、平均速度ノルムが0.006にまで低下し、収束が確認された。
• 同一の数値的離散化を用いて、平面シート、シリンダー、トーラスなど、さまざまな表面トポロジーにおいて本手法が安定に動作した。
• 内計量フレームワークは、LDDMMにおける固定計量とは異なり、現在の表面に応じた適応的計量挙動を可能にする。
• 有限要素法に基づく数値実装により、測地線シューティングや統計的解析を含むリーマン幾何学的ツールの全範囲をサポートする。