[論文レビュー] A non-dynamically coherent example on ${\mathbb T}^3$

Federico Rodriguez Hertz, Jana Rodriguez Hertz+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、3次元トーラス 𝕋³ 上の1次元中心バンドルをもつ部分的双曲的微分同相写像について、動的整合性をもたない最初の既知の例を構成した。この例は、アノソフ写像の摂動と、円周上のモース＝スマール微分同相写像の組み合わせによって得られる。主な結果は、$C^1$-開集合内に、コンパクトで吸引的な中心不安定トーラスが存在することにより、動的整合性を欠くような微分同相写像が存在することであり、1975年以来長年未解決であった問題を解決した。

ABSTRACT

In this paper we give the first example of a non-dynamically coherent partially hyperbolic diffeomorphism with one-dimensional center bundle. The existence of such an example had been an open question since 1975.

研究の動機と目的

• 3次元トーラス 𝕋³ 上の1次元中心バンドルをもつ部分的双曲的微分同相写像について、動的整合性が自動的であるかどうかという、長年の未解決問題を解消すること。
• 1次元中心バンドルをもつが、動的整合性を欠く部分的双曲的微分同相写像の具体的な例を構成すること。
• コンパクトで吸引的な中心不安定トーラスの存在が、3次元多様体における動的整合性の欠如を妨げることを示すこと。
• 超曲線にホモトープな部分的双曲的微分同相写像の空間が、非整合例の存在により非連結であることを示すこと。

提案手法

• $$\mathbb{T}^2 \times \mathbb{S}^1 = \mathbb{T}^3$$ 上の積アノソフ写像 $A \times \text{id}$ を、円周因子におけるモース＝スマール微分同相写像によって摂動する。
• 摂動の力学的性質から生じる不変かつ吸引的な中心不安定トーラス $T^{cu}$ を構成する。
• 外部の領域では $E^c \oplus E^u$ が一意的可積分であるという事実を用い、任意の不変 $cu$-foliation がコンパクトな葉を含むべきであることを示す。
• 先行研究 [14] における結果に基づく背理法を用い、多様体の非コンパクト部ではこのようなコンパクトな葉が存在できないことを示す。
• 正規双曲性と $C^1$-摂動における不変foliationの連続性を活用し、近傍の微分同相写像の中心foliationが依然として可積分でないことを示す。
• プレーク拡張性と中心安定foliationの構造を用いて、反発的トーラスの近傍で中心安定葉上の強い安定foliationがリーブ型をとることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1975年以来未解決であった、3次元トーラス 𝕋³ 上の1次元中心バンドルをもつ部分的双曲的微分同相写像について、動的整合性は自動的であるのか？
• RQ2 非可積分な中心バンドルが存在しないにもかかわらず、1次元中心バンドルをもつ 𝕋³ 上に動的整合性を欠く例が存在しうるか？
• RQ3 コンパクトで吸引的な中心不安定トーラスの存在が、3次元多様体における動的整合性の欠如を妨げうるか？
• RQ4 超曲線にホモトープな 𝕋³ 上の部分的双曲的微分同相写像の空間は、非連結であるか？
• RQ5 3次元部分的双曲的系において、中心バンドルの局所的一意的可積分性と動的整合性は同値か？

主な発見

• 本稿は、$\mathbb{T}^3$ 上の部分的双曲的微分同相写像の $C^1$-開集合を構成し、それが1次元中心バンドルをもつが動的整合性を欠くものであることを示した。これは、1次元中心バンドルをもつ非動的整合性例として初めての例である。
• 非整合性は、コンパクトで吸引的な中心不安定トーラス $T^{cu}$ の存在に起因し、任意の $cu$-foliation がコンパクトな葉を含むべきであるが、これは既知の結果 [14] と矛盾する。
• $\mathbb{T}^3$ 上の超曲線にホモトープな微分同相写像の集合は、非整合な成分の存在により非連結であることが示された。
• 中心バンドルは $C^1$-開集合内で局所的一意的可積分でないことが証明され、3次元部分的双曲的系においても一意的可積分性は保証されないことが示された。
• 構成された例の中心安定foliationはプレーク拡張性をもち $C^1$ であるが、反発的トーラスの近傍でその葉上の強い安定foliationはリーブ型をとる。
• この例は、3次元多様体における非動的整合性例が、$E^c \oplus E^u$ または $E^s \oplus E^c$ に接する周期的トーラスをもたなければならないという予想を確認している。