[논문 리뷰] A non-integrated hypersurface defect relation for meromorphic maps over complete K\"ahler manifolds into projective algebraic varieties

Wei Chen, Qi Han|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 28.

Meromorphic and Entire Functions참고 문헌 12인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 완전한 카플러 다양체에서 매립형 매핑에 대해, 비통합 초면 결함 관계를 수립한다. 이 관계는 단지 차원, 차수, 및 k-하나의 위치에 따라 결정되는 단절 수준과 상한을 갖는다. 주요 결과는 후지모토의 고전적 결함 관계를 일반화하며, 다양체가 사영 공간이고 초면이 일반 위치에 있는 초평면일 경우 정확히 이를 복원한다.

ABSTRACT

In this paper, a non-integrated defect relation for meromorphic maps from complete K\"ahler manifolds $M$ into smooth projective algebraic varieties $V$ intersecting hypersurfaces located in $k$-subgeneral position is proved. The novelty of this result lies in that both the upper bound and the truncation level of our defect relation depend only on $k$, $\dim_{\,\mathbb{C}}(V)$ and the degrees of the hypersurfaces considered. In addition, this defect relation recovers Hirotaka Fujimoto [Theorem 1.1; MR0884636 (88m:32049); Japan. J. Math. (N.S.) 11 (1985), no. 2, 233-264.] when subjected to the same conditions.

연구 동기 및 목표

• 완전한 카플러 다양체에서 매립형 매핑에 대한 비통합 결함 관계를 수립함으로써 후지모토의 작업을 확장한다.
• 단절 수준과 상한이 ǫ > 0에 대해 임의로 선택되지 않고, 오직 k, dim(V), 및 초면의 차수에만 의존하는 결함 관계를 유도한다.
• 다양체가 사영 공간이고 초면들이 일반 위치에 있는 초평면일 경우 후지모토의 원래 결함 관계(정리 1.1)를 특수한 경우로 복원한다.
• ǫ → 0일 때 기존 결과에서 상한이 발산하는 것을 피하고 더 날카운 단절 수준을 사용함으로써 이전 결과를 향상시킨다.
• 초면의 수에 대한 명시적 양적 조건 하에서, 초면을 공유하는 대수적으로 비퇴화된 매립형 매핑이 반드시 동일함을 보이는 유일성 정리를 제시한다.

제안 방법

• 매핑 f와 초면 D에 대해, Fubini-Study 계량의 역상과 유계 연속 함수 h를 포함하는 미분 부등식을 만족하는 상수 η의 가족 A(D, μ₀)를 사용해 비통합 결함 δf_μ₀(D)를 정의한다.
• M 위의 유계, 비음수, 연속 함수 h에 대해, ρΩf + ddc log h² ≥ Ric ω 를 만족하는 조건 C(ρ)를 도입한다.
• 다양체 V의 힐베르트 함수 HV(d)를 사용해 단절 수준 HV(d)−1를 정의하며, 이는 초면들의 차수의 최소공배수의 차수 d에 따라 결정된다.
• Ru와 Sogome [17] 및 Tan과 Truong [19]의 기법을 활용하고, 복소다양체의 퍼텐셜 함수 추정과 단위 구 내에서의 L2 추정을 결합한다.
• 매립형 매핑에 대한 네바린나 이론의 첫 번째 및 두 번째 주요 정리를, 관련된 전류와 순서를 사용해 사영 다양체의 맥락에서 적용한다.
• Hörmander의 L2 방법을 통해 L2 추정을 도출하고, 선다발의 절단들의 와이어스키안 행렬식에 적용함으로써, 매핑이 동일하지 않다면 Yau와 Karp의 결과와 모순되는 적분의 수렴을 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매립형 매핑에 대해 명시적이고 유한한 단절 수준과 ǫ > 0에 독립적인 상한을 갖는 비통합 결함 관계를 수립할 수 있는가?
• RQ2 대상 다양체가 사영 공간이고 초면들이 일반 위치에 있는 초평면일 경우, 이 결함 관계는 후지모토의 원래 결과를 복원하는가?
• RQ3 초면들이 사영 다양체에 대해 k-하나의 위치에 있을 경우, 결함 합의 최적의 단절 수준과 상한은 무엇인가?
• RQ4 초면의 수에 대해 어떤 조건을 만족할 경우, 초면을 공유하는 두 개의 대수적으로 비퇴화된 매립형 매핑이 반드시 동일해야 하는가?
• RQ5 조건 C(0)이 완전히 만족되지 않을 경우, 성장 조건 C(ρ)는 결함 합과 유일성 임계값에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 논문은 매립형 매핑에 대해 단절 수준 HV(d)−1과 상한 2k−n+1/n+1 HV(d) + ρ/d(HV(d)(HV(d)−1)) 를 갖는 비통합 결함 관계를 수립한다.
• d=1, k=n=N, V=P^n(C)일 경우 결과는 후지모토의 정리 1.1을 정확히 복원하며, 고전적 경우와의 일致성을 확인한다.
• 단절 수준 HV(d)−1는 [17, 19, 20]에서의 것보다 작으며, ǫ에 의존하여 ǫ→0일 때 발산하는 것을 피함으로써 더 효과적이고 명시적인 상한을 제공한다.
• 식 (1.6)의 상한은 명시적이며 오직 k, n, HV(d), 및 ρ에만 의존하며, 이전 결과에서 문제를 일으키는 임의의 ǫ>0에 대한 의존성을 피한다.
• 유일성 정리(정리 4.1)는 조건 C(ρ) 하에서, 초면의 수가 2k−n+1/n+1 HV(d) + ρ/d(HV(d)(HV(d)−1)) + 2/d(HV(d)−1)를 초과할 경우 f≡g임을 보여준다.
• R₀=1인 경우, 특성 함수 비율의 lim inf를 사용해 유일성 임계값이 향상되며, 성장 near 경계를 반영하는 λ를 포함하는 조건을 도출한다.