[論文レビュー] A Non-Nested Multilevel Method for Meshless Solution of the Poisson Equation in Heat Transfer and Fluid Flow

Anand Radhakrishnan, Michael Xu+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2021

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 69被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、多項式補完を用いた多調和的径数基底関数（PHS-RBF）を用いた非ネスト型マルチレベルメッシュレス法を提案し、熱伝導および流れの解析におけるポアソン方程式を解く。この手法は、独立に生成された粗い点集合間でRBFに基づく補間を用いて制限および補間を実行し、特にすべてのノイマン境界条件においてGMRESと組み合わせた場合に高速収束を達成する。非構造的形状においても指数的減少の離散化誤差と高い性能を示す。

ABSTRACT

We present a non-nested multilevel algorithm for solving the Poisson equation discretized at scattered points using polyharmonic radial basis function (PHS-RBF) interpolations. We append polynomials to the radial basis functions to achieve exponential convergence of discretization errors. The interpolations are performed over local clouds of points and the Poisson equation is collocated at each of the scattered points, resulting in a sparse set of discrete equations for the unkown variables. To solve this set of equations, we have developed a non-nested multilevel algorithm utilizing multiple independently generated coarse sets of points. The restriction and prolongation operators are also constructed with the same RBF interpolations procedure. The performance of the algorithm for Dirichlet and all-Neumann boundary conditions is evaluated in three model geometries using a manufactured solution. For Dirichlet boundary conditions, rapid convergence is observed using SOR point solver as the relaxation scheme. For cases of all-Neumann boundary conditions, convergence is seen to slow down with the degree of the appended polynomial. However, when the multilevel procedure is combined with a GMRES algorithm, the convergence is seen to significantly improve. The GMRES accelerated multilevel algorithm is included in a fractional step method to solve incompressible Navier-Stokes equations.

研究の動機と目的

• 非ネスト型グリッドを必要としない、複雑な形状におけるポアソン方程式のメッシュレスマルチグリッド・ソルバーの開発。
• メッシュレスRBF離散化において、すべてのノイマン境界条件に対して点緩和ソルバー（例：SOR）の収束性が悪い問題の解決。
• RBF補間と多項式補完を用いることで、高次精度と効率的な解法を実現。
• 非圧縮性ナビエ-ストークス方程式のための分離ステップスキームへの実装。
• 今後の作業として、三次元への拡張および並列アーキテクチャへの適用を計画。

提案手法

• 多項式の高次補完を施した多調和的径数基底関数（PHS-RBF）を用いてポアソン方程式を離散化し、離散化誤差の指数的収束を達成。
• 散乱点クラウド上での局所的補間をRBFを用いて行い、各点にPDEをコロケートすることでスパースな線形方程式系を構築。
• グリッドの細分化に依存しない独立した粗い点集合を非ネスト型に構築。
• 細かいレベルと粗いレベルの間で、制限および補間演算子としてRBFに基づく補間を用いる。
• ディリクレ問題にはSORをスムージングに、すべてのノイマン問題にはマルチレベル条件付きGMRESを用いる。
• 非圧縮性流れの分離ステップ法における圧力ポアソン方程式を解くために、マルチレベル条件付きGMRESを適用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 RBF補間を用いた非ネスト型マルチレベル法は、複雑な領域におけるポアソン方程式のメッシュレス離散化に対して最適収束を達成できるか？
• RQ2 なぜ標準的なSOR緩和法は、RBFに基づくメッシュレス手法におけるすべてのノイマン境界条件に対して収束が不安定になるのか？
• RQ3 PHS-RBFにおける多項式の次数が、条件数および反復ソルバーの収束挙動に与える影響は何か？
• RQ4 GMRESを用いたマルチレベル条件付き法は、高い条件数にもかかわらず、すべてのノイマン問題に対して収束性を回復できるか？
• RQ5 マルチレベルRBF法は、非圧縮性流れのシミュレーションにおける圧力ポアソン方程式に有効に適用できるか？

主な発見

• ディリクレ境界条件では、SORに基づくマルチレベル法が、テストしたすべての形状および多項式次数において高速収束を達成した。
• すべてのノイマン境界条件では、多項式次数が増加するにつれて条件数が上昇するため、純粋なSORの収束性が劣化した。
• GMRES加速付きマルチレベル法は、高次多項式でもすべてのノイマン問題に対して高速かつ強固な収束を達成した。
• 点間隔が小さくなるに従い、離散化誤差が指数的に減少し、多項式次数lに対して少なくとも(l−1)次精度を達成することが、マニュフェイクテッドソリューションのテストで確認された。
• 本手法は、約10,000個の散乱点を用いて、コヴァシュニャ流れおよび同心円筒間の流れの分離ステップ法における圧力ポアソン方程式を効果的に解いた。
• マルチレベル条件子は、非ネストグリッドであるにもかかわらず、ほぼグリッドに依存しない収束性を維持しており、効果的なマルチグリッド挙動を示している。