[論文レビュー] A non-smooth continuous unitary representation of a Banach-Lie group

Daniel Beltiţă, Karl‐Hermann Neeb|ArXiv.org|Nov 26, 2008

Advanced Topics in Algebra参考文献 5被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、$ L^2([0,1],\mathbb{R}) $ 上のバナッハ＝リー群に対する、$ L^2([0,1],\mathbb{C}) $ 上の連続的ユニタリ表現を、$ e^{if} $ による乗算によって構成する。連続性にもかかわらず、滑らかなベクトルの空間は自明であることを示している。主な貢献は、無限次元リー群のユニタリ表現において、連続性が滑らかさを意味しないことを、アーベル的バナッハ＝リー設定ですら示したことにある。

ABSTRACT

In this note we show that the representation of the additive group of the Hilbert space $L^2([0,1],\R)$ on $L^2([0,1],\C)$ given by the multiplication operators $π(f) := e^{if}$ is continuous but its space of smooth vectors is trivial. This example shows that a continuous unitary representation of an infinite dimensional Lie group need not be smooth.

研究の動機と目的

• 無限次元リー群の連続的ユニタリ表現が、常に滑らかなベクトルの稠密部分空間を有するかどうかを調査すること。
• 無限次元リー群表現の文脈において、連続性が滑らかさを意味すると仮定することを疑問視すること。
• 加法群 $ L^2([0,1],\mathbb{R}) $ が $ L^2([0,1],\mathbb{C}) $ 上の乗算作用素によって作用する具体例を構成すること。
• この表現における滑らかなベクトルの空間が、連続性にもかかわらず自明であることを証明すること。

提案手法

• ベクトル空間 $ \mathcal{H} = L^2([0,1],\mathbb{C}) $ 上で、$ f \in L^2([0,1],\mathbb{R}) $ に対してユニタリ表現 $ \pi(f)\xi = e^{if}\xi $ を定義する。
• 有界な $ \xi $ に対する軌道写像 $ \pi(\cdot)\xi $ の連続性を示し、密度による拡張によって表現の連続性を確立する。
• 各 $ \lambda \in [0,1] $ に対して、$ f_\lambda(t) = |t - \lambda|^{-1/4} $ で定義される関数族を導入し、表現の1パラメータ部分群を生成する。
• 各1パラメータ部分群の滑らかなベクトルを、すべての $ n \in \mathbb{N} $ に対して $ f_\lambda^n \xi \in L^2 $ を満たす $ \xi $ として特徴付ける。
• すべての $ \lambda \in [0,1] $ に対して、そのような滑らかなベクトル空間の共通部分集合が自明であることを、背理法により証明する。具体的には、すべての $ \lambda $ に対して $ f_\lambda^4 \xi \in L^2 $ だと仮定する。
• リーマン点と測度論的推定を用いて、$ \int_{\lambda-h}^{\lambda+h} |t - \lambda|^{-1} \chi_M(t) \, dt $ の漸近的境界を導出し、$ \xi \neq 0 $ ならば矛盾が生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元バナッハ＝リー群の連続的ユニタリ表現は、常に滑らかなベクトルの稠密部分空間を有するか？
• RQ2 アーベル的バナッハ＝リー群の連続的ユニタリ表現が滑らかでないことはあり得るか？
• RQ3 無限次元リー群のユニタリ表現において、非自明な滑らかなベクトルが存在するための条件は何か？
• RQ4 $ L^2([0,1],\mathbb{C}) $ 上の表現 $ \pi(f)\xi = e^{if}\xi $ における滑らかなベクトルの空間は自明か？

主な発見

• 表現 $ \pi(f)\xi = e^{if}\xi $ は、有界な $ \xi $ に対する軌道写像の連続性と密度による拡張により、$ L^2([0,1],\mathbb{C}) $ 上で連続であることが示された。
• この表現における滑らかなベクトルの空間は自明である：$ \mathcal{H}^\infty = \{0\} $ であり、非ゼロの滑らかなベクトルは存在しない。
• 各 $ \lambda \in [0,1] $ に対して、1パラメータ部分群 $ \pi_\lambda(t)\xi = e^{itf_\lambda}\xi $ の滑らかなベクトルは、すべての $ n \in \mathbb{N} $ に対して $ f_\lambda^n \xi \in L^2 $ を満たす $ \xi $ に限られる。
• すべての $ \lambda \in [0,1] $ に対して $ f_\lambda^4 \xi \in L^2 $ を満たす $ \xi \in L^2 $ が存在するならば、$ \xi = 0 $ であることが、背理法とリーマン点・測度推定を用いて示された。
• 矛盾は、$ \int_{\lambda-h}^{\lambda+h} |t - \lambda|^{-1} \chi_M(t) \, dt $ の推定から生じる：$ h \to 0 $ のとき、一方の境界は 0 に近づき、他方は 2 に近づく。これは $ M $ が正の測度を持つ場合に不可能である。