[論文レビュー] A nonlinear Stokes-Biot model for the interaction of a non-Newtonian fluid with poroelastic media I: well-posedness of the model

Ilona Ambartsumyan, Vincent J. Ervin+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、非線形性を有するストークス方程式を用いた非ニュートン流体の流れと、準静的ビオモデルによって記述される多孔質弾性体を結合する非線形ストークス＝ビオモデルを提案する。特に、せん断薄性を示す流体に注目し、2種類の代替的定式化について解の存在と一意性を確立し、複雑な媒体における流体-多孔質弾性体相互作用の厳密な数学的基盤を提供する。

ABSTRACT

We propose and analyze a model for solving the coupled problem arising in the interaction of a free fluid with a poroelastic medium. The flow in the fluid region is described by the Stokes equations and in the poroelastic medium by the quasi-static Biot model. The focus of the model is on quasi-Newtonian fluids that exhibit a shear-thinning property. We establish existence and uniqueness of the solution for two alternative formulations of the proposed model.

研究の動機と目的

• 非ニュートン流体と多孔質弾性体の間の相互作用を記述する数学的モデルの構築を目的とし、特にせん断薄性の挙動に注目する。
• 非ニュートン流動則を含む連成流体-多孔質弾性体系における適切な定式化の欠如を是正すること。
• 解の存在と一意性の解析を通じて、提案モデルの数学的妥当性を確立すること。
• 理論的枠組みの強度を保証するため、連成問題の2種類の異なる変分定式化を検討すること。

提案手法

• せん断速度に依存する非線形粘性を有するストークス方程式を用いて、せん断薄性を捉える流体の流れをモデル化する。
• 多孔質マトリックス内での固体変位と流体圧力の結合を記述するため、準静的ビオモデルを多孔質弾性体に適用する。
• 流体-多孔質弾性体界面における界面条件を定式化し、速度と応力の連続性を含む。
• バナッハの不動点定理とラックス＝ミルグラム補題を用いた関数解析的手法により、存在と一意性を証明する。
• 数学的整合性と可解性を保証するため、連成系の2つの代替的弱定式化を分析する。
• 解成分の正則性と可積分性を保証するため、ソボレフ空間などの適切な関数空間を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 せん断薄性を示す流体と多孔質弾性体の間の相互作用を正確に捉えることのできる連成モデルを定式化できるか？
• RQ2 適切な関数空間設定のもとで、提案された非線形ストークス＝ビオモデルが一意解を有するか？
• RQ3 2つの異なる変分定式化は、数学的構造および可解性の観点でどのように比較できるか？
• RQ4 このような非線形かつ連成的な系に対して、存在と一意性を確立するために必要な数学的道具は何か？

主な発見

• 提案された非線形ストークス＝ビオモデルは、せん断薄性を示す流体に対して、ストークス方程式と準静的ビオモデルを効果的に結合している。
• 不動点法と強収縮性推定を用いて、最初の定式化について弱解の存在と一意性が証明された。
• 変分的手法とインフラ・インフィムム条件を用いて、第二の定式化に対しても解の存在と一意性が確立された。
• 解析により、流体の粘性および材料パrameterに関する標準的な仮定のもとで、連成系の数学的適切性が確認された。