[論文レビュー] A nonlocal operator method for solving partial differential equations

Huilong Ren, Xiaoying Zhuang+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2018

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ひとこと要約

本論文は、テイラー級数展開から導かれる積分型非局所作用素を用いて、従来の微分作用素の代わりに偏微分方程式（PDE）を解く非局所作用素法を提案する。この方法は変分原理および重み付き残差法と整合的であり、行列乗算を用いて残留項および接線剛性行列を効率的に計算可能であり、ノード統合スキームにおけるゼロエネルギーモードを抑えるための時計型エネルギー関数が導入されている。

ABSTRACT

We propose a nonlocal operator method for solving partial differential equations (PDEs). The nonlocal operator is derived from the Taylor series expansion of the unknown field, and can be regarded as the integral form "equivalent" to the differential form in the sense of nonlocal interaction. The variation of a nonlocal operator is similar to the derivative of shape function in meshless and finite element methods, thus circumvents difficulty in the calculation of shape function and its derivatives. {The nonlocal operator method is consistent with the variational principle and the weighted residual method, based on which the residual and the tangent stiffness matrix can be obtained with ease.} The nonlocal operator method is equipped with an hourglass energy functional to satisfy the linear consistency of the field. Higher order nonlocal operators and higher order hourglass energy functional are generalized. The functional based on the nonlocal operator converts the construction of residual and stiffness matrix into a series of matrix multiplications on the nonlocal operators. The nonlocal strong forms of different functionals can be obtained easily via support and dual-support, two basic concepts introduced in the paper. Several numerical examples are presented to validate the method.

研究の動機と目的

• 形状関数の構築や導出の複雑さを回避するメッシュフリーに近いPDEの解法を開発すること。
• ノード統合における数値不安定性（時計型モード）を解消するために、時計型エネルギー関数を導入すること。
• 高次非局所作用素および高次整合性条件への一般化を図ること。
• 残留項および剛性行列の計算が変分原理および重み付き残差法と整合的であることを保証すること。
• 不連続性や急激な勾配を示す問題（例：破壊力学や損傷力学）に対しても安定的かつ整合的かつ計算的に効率的なPDEの解法フレームワークを提供すること。

提案手法

• 非局所作用素はテイラー級数展開から導出され、サポート領域を介して定義され、微分作用素の積分型近似を可能にする。
• 非一様離散化を可能にし、変分原理を用いた非局所強形式の導出を容易にするために「二重サポート（dual-support）」の概念を用いる。
• 残留項および接線剛性行列は、非局所作用素と物理的構成則の項を含む行列乗算によって計算され、形状関数の導関数を明示的に計算する必要がなくなる。
• ノード統合におけるゼロエネルギーモードを抑えるために、時計型エネルギー関数が導入され、線形整合性が保証される。
• 高次非局所作用素およびそれに対応する高次時計型エネルギー関数を一般化し、精度と整合性を向上させる。
• サポート領域および二重サポートの概念を用いて非局所強形式を構築し、弱形式を代数的システムに直接離散化可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PDEにおける微分作用素を、形状関数の構築を回避する積分型非局所作用素に置き換える方法は何か？
• RQ2 非局所作用素法は変分原理および重み付き残差法と整合的であるか？
• RQ3 非局所フレームワーク内でのノード統合における時計型モードは、どのように効果的に抑えることができるか？
• RQ4 二重サポートの役割は、非一様離散化および安定な定式化を可能にする上で果たすものとは何か？
• RQ5 高次非局所作用素およびエネルギー関数は、この手法の精度と整合性をどのように向上させるか？

主な発見

• 非局所作用素法は、局所微分作用素を積分型のものに効果的に置き換え、形状関数の導関数を明示的に計算しない安定的かつ高精度なPDEの解法を実現した。
• この手法は変分原理および重み付き残差法と整合的であり、行列乗算による残留項および接線剛性行列の直接計算が可能である。
• 時計型エネルギー関数はノード統合におけるゼロエネルギーモードを効果的に抑えることができ、明示的および陰的解析の両方における数値的安定性を確保した。
• 無限小のサポート領域の極限において、非局所作用素は局所微分作用素に収束し、古典的PDEと整合的であることが保証された。
• はりの単純梁、ポアソン方程式、固有値問題といった数値例は、不連続性を伴う問題においても本手法の精度と頑健性を示した。
• 二重サポートの使用により、柔軟な非一様離散化が可能となり、複雑な幾何形状や不規則メッシュへの適用性が向上した。