[論文レビュー] A norm for Tsirelson's Banach space

Diana Ojeda-Aristizabal|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2012

Advanced Banach Space Theory参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ツィレルソンの元々のバナッハ空間 T の明示的暗黙的ノルム表現を提供する。これは、フィーゴルとジョンソンによって与えられた T* のノルム公式の双対である。ノルムが特定の再帰的方程式（ブロック列と下界分解を含む）を満たすすべてのノルムの中での点ごとの最大値であることが確立され、この手法は混合ツィレルソン空間、シュループレヒト空間を含む、任意の混合ツィレルソン空間の双対ノルムの計算へと拡張される。

ABSTRACT

We give an expression for the norm of the space constructed by Tsirelson. The implicit equation satisfied by this norm is dual to the implicit equation for the norm of the dual of Tsirelson space given by Figiel and Johnson. The expression can be modified to give the norm of the dual of any mixed Tsirelson space. In particular, our results can be adapted to give the norm for the dual of Schlumprecht space.

研究の動機と目的

• ツィレルソンの元々のバナッハ空間 T のノルムに対する明示的表現を提供すること。これは、従来、閉形式での記述が存在しなかった。
• 計算可能なノルム表現の欠如による T の研究の困難を、暗黙の式によるノルムの構成によって解決すること。
• T に用いられた手法を一般化し、任意の混合ツィレルソン空間（シュループレヒト空間を含む）の双対ノルムを計算すること。
• 構成されたノルムが、標準基底ベクトルを正規化するという条件下で、同じ暗黙の式を満たすすべてのノルムの中で最大であることを確立すること。

提案手法

• c₀₀ 上のノルムの列を、ブロック列および分解に関する反復的最小化によって定義し、初期ノルムとして ||x||₀ = ||x||₁ を用いる。
• 再帰的公式 ||x||ₙ₊₁ = min{ min{ (1/θₗ) maxᵢ ||Eᵢx||ₙ : (Eᵢ) ℳₗ-適切, x=∑Eᵢx }, inf{||y||ₙ + ||z||ₙ : x=y+z, supp(y)⊆supp(x)) } } を用いる。
• 列 (||x||ₙ) の収束を証明し、極限ノルム ||x|| が暗黙の式を満たすことを示す：||x|| = min{ min{ (1/θₗ) maxᵢ ||Eᵢx|| : ℳₗ-適切なブロック, x=∑Eᵢx }, inf{||y||+||z|| : x=y+z } }
• 双対定理を用いて、双対空間の単位球を、再帰的に生成される集合 V の凸包の弱*閉包として同定する。
• 標準基底ベクトルがノルムで正規化されていること、およびノルムが同様の条件を満たすすべての解の中で最大であることを検証する。
• 係数および適切性条件を一般化することで、混合ツィレルソン空間 T[(ℳₙ,θₙ)ₙ] にこの構成を適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ツィレルソンの元々のバナッハ空間 T に対して、既知の閉形式ノルムが存在しないにもかかわらず、明示的暗黙的ノルム表現を導出できるか？
• RQ2 T のノルムは、ブロック列および分解を用いて特徴づけられる再帰的方程式を満たすか？
• RQ3 T に用いられた手法を一般化し、混合ツィレルソン空間（シュループレヒト空間を含む）の双対ノルムを計算できるか？
• RQ4 T に対して構成されたノルムは、同じ暗黙の式を満たし、標準基底を正規化するすべてのノルムの中で最大か？
• RQ5 混合ツィレルソン空間の双対空間の単位球は、関数型の再帰的生成プロセスによって記述可能か？

主な発見

• ツィレルソンの元々の空間 T のノルムは、c₀₀ 上で再帰的に定義されたノルム列の極限として与えられ、特定の暗黙の式を満たす。
• T のノルムは、標準基底ベクトル eᵢ を正規化するという条件下で、同じ暗黙の式を満たすすべてのノルムの中での点ごとの最大値である。
• 混合ツィレルソン空間 T[(ℳₙ,θₙ)ₙ] の双対には、係数 θₙ および ℳₙ-適切なブロック列を含む一般化された再帰的公式によって表せるノルムがある。
• T[(ℳₙ,θₙ)ₙ] の双対空間の単位球は、再帰的に生成される集合 V の凸包の弱*閉包である。この集合 V には、標準基底関数型および適切なブロック上の θₗ 組み合わせが含まれる。
• シュループレヒト空間の双対ノルムは、一般化された公式を用いて計算可能であり、この手法が元々のツィレルソン空間を超えて適用可能であることが確認された。
• T の構成されたノルムは、サポートサイズに基づく帰納的計算を許さない。これは、下界および最小化項の構造によるものである。