[論文レビュー] A note on a fundamental domain for Siegel-Jacobi space

Jae-Hyun Yang|ArXiv.org|Jul 11, 2005

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、群 $\Gamma_{g,h} = \Gamma_g \ltimes H_\mathbb{Z}^{(g,h)}$ が空間 $\mathbb{H}_g \times \mathbb{C}^{(h,g)}$ 上に作用する Siegel-Jacobi 空間 $\Gamma_{g,h} \backslash \mathbb{H}_{g,h}$ に対して基本領域を構成する。この基本領域に $G^J$-不変なリーマン計量を定義し、関連するアーベル多様体 $A_\Omega$ 上のラプラシアンのスペクトル分解を証明する。その結果、関数 $E_{\Omega;A,B}$ が $L^2(A_\Omega)$ の完全正規直交基底をなすことが示される。

ABSTRACT

In this paper, we study a fundamental domain for the Siegel-Jacobi space $Sp(g,{\mathbb Z})\ltimes H_{\mathbb Z}^{(g,h)}\backslash {\mathbb H}_g imes {\mathbb C}^{(h,g)}$.

研究の動機と目的

• Jacobi 群 $\Gamma_{g,h} = \Gamma_g \ltimes H_\mathbb{Z}^{(g,h)}$ の Siegel-Jacobi 空間 $\mathbb{H}_g \times \mathbb{C}^{(h,g)}$ 上の作用に対する基本領域を特定すること。
• 基本領域に $G^J$-不変なリーマン計量を構成し、Jacobi 群の作用に関して不変であることを保証すること。
• Siegel 基本領域 $\mathcal{F}_g$ に属する $\Omega \in \mathcal{F}_g$ に対応するアーベル多様体 $A_\Omega$ 上のラプラシアンのスペクトル理論を調査すること。
• 関数 $E_{\Omega;A,B}$ を用いて、ヒルベルト空間 $L^2(A_\Omega)$ の完全正規直交基底を確立すること。

提案手法

• Jacobi 群の半直積構造 $G^J = Sp(g,\mathbb{R}) \ltimes H_\mathbb{R}^{(g,h)}$ を用いて、Siegel の基本領域 $\mathcal{F}_g$ を $\Gamma_g \backslash \mathbb{H}_g$ から Siegel-Jacobi 空間へ拡張することで、基本領域を構成する。
• リーマン計量 $ds^2 = \sigma((Y^{-1}dY)^2) + \sigma(\text{Im}\,\Omega \, dZ \, {}^t d\overline{Z})$ の引き戻しによって、$\mathbb{H}_g \times \mathbb{C}^{(h,g)}$ 上に $G^J$-不変なリーマン計量を定義する。ここで $Y = \text{Im}\,\Omega$ である。
• 微分作用素 $\Delta_\Omega = \sigma(\text{Im}\,\Omega \, \partial_Z \, {}^t \partial_{\overline{Z}})$ が変換 $\tilde{Z} = (C\Omega + D)^{-1}(Z + \lambda\Omega + \mu)$ に対して保存されることを確認することで、$\Gamma_{g,h}$ の作用に関して計量が不変であることを示す。
• アーベル多様体 $A_\Omega = \mathbb{C}^{(h,g)} / (\mathbb{Z}^{(h,g)} \times \mathbb{Z}^{(h,g)})$ を複素トーラスとして特定し、微分同相写像 $\Phi_\Omega$ を用いて、標準的なフーリエ基底 $E_{A,B}(W) = e^{2\pi i \sigma({}^t A P + {}^t B Q)}$ を $T = \mathbb{R}^{(h,g)} \times \mathbb{R}^{(h,g)} / \mathbb{Z}^{(h,g)} \times \mathbb{Z}^{(h,g)}$ から $A_\Omega$ へ移行する。
• 関数 $E_{\Omega;A,B}$ を $\Phi_\Omega$ による $E_{A,B}$ の引き戻しとして定義し、正規化された体積形式 $dv_\Omega$ を用いて $L^2(A_\Omega)$ 内での正規直交性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Jacobi 群 $\Gamma_{g,h}$ が Siegel-Jacobi 空間 $\mathbb{H}_g \times \mathbb{C}^{(h,g)}$ 上に作用する際の基本領域は何か？
• RQ2 Siegel-Jacobi 空間の基本領域に $G^J$-不変なリーマン計量をどのように構成できるか？
• RQ3 Siegel 基本領域 $\mathcal{F}_g$ に属する $\Omega$ に対応するアーベル多様体 $A_\Omega$ 上のラプラシアンのスペクトル分解は何か？
• RQ4 集合 $\{E_{\Omega;A,B} \mid A,B \in \mathbb{Z}^{(h,g)}\}$ は $L^2(A_\Omega)$ の完全正規直交基底をなすか？

主な発見

• Siegel の基本領域 $\mathcal{F}_g$ を $\Gamma_g \backslash \mathbb{H}_g$ から拡張することで、$\Gamma_{g,h} \backslash \mathbb{H}_g \times \mathbb{C}^{(h,g)}$ の基本領域が構成された。
• リーマン計量 $ds^2 = \sigma((Y^{-1}dY)^2) + \sigma(\text{Im}\,\Omega \, dZ \, {}^t d\overline{Z})$ が $\mathbb{H}_g \times \mathbb{C}^{(h,g)}$ 上に定義され、Jacobi 群の作用に関して不変であることが示された。
• ラプラシアン $\Delta_\Omega = \sigma(\text{Im}\,\Omega \, \partial_Z \, {}^t \partial_{\overline{Z}})$ は、$\partial_Z$ および $\partial_{\overline{Z}}$ の変換則を用いて $\Gamma_{g,h}$ の作用に関して不変であることが確認された。
• 関数 $E_{\Omega;A,B}(Z) = e^{2\pi i \sigma({}^t A \, \text{Re}(Z) + {}^t B \, \text{Im}(Z))}$ は、正規化された体積形式 $dv_\Omega$ を用いた $L^2(A_\Omega)$ の完全正規直交基底をなす。
• 空間 $L^2(A_\Omega)$ のスペクトル分解は $L^2(A_\Omega) = \oplus_{A,B \in \mathbb{Z}^{(h,g)}} \mathbb{C} \cdot E_{\Omega;A,B}$ と表され、各 $E_{\Omega;A,B}$ は $\Delta_\Omega$ の固有関数である。