[論文レビュー] A note on (asymptotically) Weyl-almost periodic properties of convolution products

В. Е. Федоров, Marko Kostić|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2018

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 4被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、特定の成長率（1.2）および（1.3）を示す解作用素族を備えたコンvolution積の下で、Weyl-p-ほぼ周期的および漸近的Weyl-p-ほぼ周期的性質の不変性を調査する。主な貢献は、特に特異的または非特異的核を有する抽象的分数階微分方程式において、コンボリューション積がこれらのほぼ周期的性質を保持するための十分条件を確立することにある。

ABSTRACT

The main aim of this paper is to investigate Weyl-p-almost periodic properties and asymptotically Weyl-p-almost periodic properties of convolution products. Obtained results were applied to the considering of the existence and the uniqueness of a solution with the appropriate properties for abstract fractional differential inclusions of some classes. In such a way, we continue several recent research studies of ours which do concern a similar problematic.

研究の動機と目的

• コンボリューション積の下でのWeyl-p-ほぼ周期的および漸近的Weyl-p-ほぼ周期的性質の保存を調査すること。
• 成長率（1.2）および（1.3）を示す解作用素族が、解のほぼ周期的性質を決定づける役割を分析すること。
• p > 1の場合に[10]の命題2.1における誤りを是正することで、従来のコンボリューション積の結果を拡張すること。
• 抽象的分数階微分包含方程式における（漸近的）Weyl-p-ほぼ周期的解の存在および一意性を確立すること。
• 理論的結果を具体的な方程式に適用すること、特に分数階ポisson熱方程式および減衰波型方程式を含む。

提案手法

• Weyl距離およびステパノフノルムを用いて、Weyl-p-ほぼ周期的およびその漸近的バージョンを定義する。
• gが（等価）Weyl-p-ほぼ周期的である場合の形 G(t) = ∫_{-∞}^t R(t−s)g(s) ds を有するコンボリューション積を分析する。
• 2つの成長率条件を検討する：t > 0 に対して ∥R(t)∥ ≤ Me^{-ct}t^{β−1}（1.2）および ∥R(t)∥ ≤ M t^{β−1}/(1 + t^γ)（1.3）、ただし γ > 1。
• Weyl-LiouvilleおよびCaputo型分数階微分を含む抽象的分数階微分包含方程式に結果を適用する。
• 有界性および減衰性を導出するために、解作用素 T(t)、Rγ(t)、Sγ(t) に対する、解作用素集合条件 (P) および推定式を用いる。
• 分数階PDE、特に Lp(Ω) や H^{-1}(Ω) における分数階ポisson熱方程式および減衰波型方程式に理論を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解作用素族が（1.2）または（1.3）を満たす場合、Weyl-p-ほぼ周期的関数とのコンボリューション積が自身でWeyl-p-ほぼ周期的であるための条件は何か？
• RQ2 解作用素族の異なる成長率（例：（1.2）および（1.3））が、得られるコンボリューションのほぼ周期的性質に与える影響は何か？
• RQ3 解作用素がゼロで強く連続でない場合、漸近的Weyl-p-ほぼ周期的関数のコンボリューションにおける不変性は確立可能か？
• RQ4 抽象的分数階微分包含方程式に対して（漸近的）Weyl-p-ほぼ周期的解の存在および一意性を保証する十分条件は何か？
• RQ5 理論的結果は、分数階熱方程式および波動方程式などの現実世界現象をモデル化するためにどのように応用可能か？

主な発見

• p > 1 の場合に[10]の命題2.1における誤りを、準漸近的ほぼ周期的関数のクラスを導入することで是正した。
• （1.2）または（1.3）を満たす解作用素族に対して、コンボリューション積は強制項 g のWeyl-p-ほぼ周期的性質を保持する。
• 分数階方程式の解作用素 Rγ(t) は、t ∈ (0,1] に対して ‖Rγ(t)‖ ≤ M1 t^{γβ−1} および t ≥ 1 に対して ≤ M2 t^{-1−γ} を満たす。
• 与えられた成長率および解作用素条件のもとで、抽象的分数階包含方程式（3.3）に対して（等価）Weyl-p-ほぼ周期的解の存在および一意性が保証される。
• 理論は、Lp(Ω) や H^{-1}(Ω) における分数階ポisson熱方程式および減衰波型方程式に成功裏に適用され、漸近的Weyl-p-ほぼ周期的解の存在が確認された。
• フレームワークは特異的および非特異的両方の方程式に適用可能であり、Weyl-LiouvilleおよびCaputo型分数階微分をカバーする。