[論文レビュー] A note on boundary value problems for black hole evolutions

Mihalis Dafermos, Igor Rodnianski|ArXiv.org|Mar 8, 2004

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、球対称ブラックホール時空（シュワルツシルトまたはライスナー＝ノルストローム背景）におけるスカラー場に対して、有限半径でのソーマーフェルトまたは類似の放射境界条件を課した場合、任意の多項式乗数よりも速い減衰率が得られることを厳密に示している。これにより、プライス則の尾部（tail）の形成が排除される。この結果は、将来の光円錐無限遠での制約を排除する境界条件のもとで波動方程式に帰納的議論を適用することで得られる。

ABSTRACT

In recent work of Allen at. al., heuristic and numerical arguments were put forth to suggest that boundary value problems for black hole evolution, where an appropriate Sommerfeld radiation condition is imposed, would fail to produce Price law tails. The interest in this issue lies in its possible implications for numerical relativity, where black hole evolution is typically studied in terms of such boundary formulations. In this note, it is shown rigorously that indeed, Price law tails do not arise in this case, i.e. that Sommerfeld (and more general) radiation conditions lead to decay faster than any polynomial power. Our setting is the collapse of a spherically symmetric self-gravitating scalar field. We allow an additional gravitationally coupled Maxwell field. The proof also applies to the easier problem of a spherically symmetric solution of the wave equation on a Schwarzschild or Reissner-Nordstrom background. The method relies on previous work of the authors.

研究の動機と目的

• 有限半径でのソーマーフェルト放射境界条件が、ブラックホール時空におけるプライス則の尾部を生じるかどうかを調査すること。
• このような境界条件が、しばしば使用される数値相対論における意味を明確にすること。
• これらの条件下での減衰率が任意の多項式乗数を上回ることを厳密に確立し、標準的な $v^{-3}$ 尾部の出現を否定すること。
• 球対称重力崩壊における減衰率の先行結果を、有限外境界を持つ境界値問題に拡張すること。

提案手法

• 球対称下でのアインシュタイン＝マックスウェル＝スカラー場系を出発点とし、単純化のため波動方程式を独立に扱う。
• 進化時間 $v$ における事象ホライズンの二重分解を用いて、スカラー場およびその微分の $L^2$ ノルムを制御する。
• 帰納的議論を適用し、将来の光円錐無限遠からの制約が存在しないため、各段階で固定された多項式乗数の改善が達成される。
• 主要な方程式には、ヌル座標系における波動方程式、質量側面関数 $\mu$ の進化、および正規化されたホーキング質量 $\varpi$ が含まれる。
• 境界条件は $r = R$ に課され、$\lambda = 1$、$r = R$、時空的境界 $\Gamma$ 沿いでの非増加質量 $m$ を含み、正則性と因果性を保証する。
• 証明は先行研究（ダフェルモス＝ロドニアンスキー、2005年）に依拠し、将来の光円錐無限遠からの放射の影響を除去することで、彼らの減衰推定を適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限半径 $r = R$ におけるソーマーフェルト放射境界条件が、球対称ブラックホール時空でプライス則の尾部を生じるか。
• RQ2 このような境界条件下でのスカラー場解の漸近的減衰率はいかほどか。
• RQ3 将来の光円錐無限遠からの制約が欠落することで、先行研究で用いられた帰納的減衰議論にどのような影響を与えるか。
• RQ4 マクスウェル場や重力結合を含めると、これらの境界条件下での減衰挙動に変化が生じるか。
• RQ5 境界条件 $r = R$ が、プライスのヒューリスティックで予測される標準的な $v^{-3}$ 尾部行動をどの程度無効にするか。

主な発見

• 任意の $p > 0$ に対して、スカラー場 $\theta$ は $|\theta(u,v)| \leq C_p v^{-p}$ のように減衰する。これは、任意の多項式乗数よりも速い減衰を意味する。
• 減衰率はプライス則で見られる $v^{-3}$ に限定されず、帰納的議論により無限に改善可能である。
• $r = R$ における境界条件は、将来の光円錐無限遠からの放射を考慮する必要を排除し、標準的設定では $v^{-3+\epsilon}$ に制限される減衰を緩和する。
• 証明により、境界 $\Gamma$ で $\left|\frac{\zeta}{\nu}\right| \leq C v^{-(q + 1/4)}$ が成り立つことが示され、波動方程式を介して内部へ伝播する。
• この結果は、アインシュタイン＝スカラー場系および固定されたシュワルツシルトまたはライスナー＝ノルストローム背景上の単純な波動方程式の両方で成立する。
• この手法は、アレンら（2004年）のヒューリスティックおよび数値的結果を確認しており、ソーマーフェルト境界条件下ではプライス則の尾部が形成されないことを裏付けている。