[論文レビュー] A note on Carlitz's type q-Changhee numbers and polynomials

Dmitry V. Dolgy, Gwan-Woo Jang+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2017

Advanced Mathematical Identities参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{Z}_p$ 上のフェルミオン的 $p$-進 $q$-積分を用いて、カールツ型 $q$-Changhee 数と多項式を導入し、$q$-Euler 多項式およびスターリング数との関係を通じて明示的公式を導出する。主な貢献は、$\mathcal{E}_{k,q}(x)$ と第一種スターリング数を用いた $Ch_{n,q}(x)$ の閉形式表現ならびに高次元一般化と変換恒等式の確立である。

ABSTRACT

In this paper, we consider the Carlitz's type q-analogue of Changhee numbers and polynomials and we give some explicit formulae for these numbers and polynomials.

研究の動機と目的

• フェルミオン的 $p$-進 $q$-積分を用いて、カールツ型 $q$-Changhee 多項式および数を定義し、それらを研究すること。
• $q$-Euler 多項式 $\mathcal{E}_{k,q}(x)$ および第一種スターリング数を用いて、$Ch_{n,q}(x)$ の明示的公式を確立すること。
• 多変数 $p$-進 $q$-積分を用いて、高次元 $q$-Changhee 多項式への構成を一般化すること。
• 母関数と組合せ係数を用いて、$q$-Changhee 多項式と $q$-Euler 多項式の間の変換恒等式を導出すること。

提案手法

• 生成関数を $\int_{\mathbb{Z}_p} (1+t)^{[x+y]_q} d\mu_{-q}(y) = \sum_{n=0}^\infty Ch_{n,q}(x) \frac{t^n}{n!}$ として定義する。
• $q$-整数、第一種スターリング数 $S_1(n,k)$、$q$-Euler 数 $\mathcal{E}_{k,q}(x)$ を含む二重和として $Ch_{n,q}(x)$ を表現する。
• 展開 $\log(1+t)^k = \sum_{n=k}^\infty S_1(n,k) \frac{t^n}{n!}$ を用いて、母関数を関連付け、係数を抽出する。
• $r$ 重の $p$-進 $q$-積分を用いて高次元 $q$-Changhee 多項式を導出する：$\int_{\mathbb{Z}_p^r} (1+t)^{[x_1+\cdots+x_r+x]_q} d\mu_{-q}^r = \sum_{n=0}^\infty Ch_{n,q}^{(r)}(x) \frac{t^n}{n!}$。
• 母関数に現れる $e^t - 1$ と $\log(1+t)$ の係数を比較することで、第二種スターリング数を介して $Ch_{n,q}^{(r)}(x)$ と $\mathcal{E}_{n,q}^{(r)}(x)$ の間の変換恒等式を確立する。
• $p$-進積分の $d$-進展開を用いて、奇数 $d$ に対して $\mathcal{E}_{k,q^d}(\frac{a+x}{d})$ を用いた $Ch_{n,q}(x)$ の一般化された公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェルミオン的 $p$-進 $q$-積分を用いて、カールツ型 $q$-Changhee 多項式はどのように定義できるか？
• RQ2 $q$-Euler 多項式および第一種スターリング数を用いて、$Ch_{n,q}(x)$ をどのように明示的に表現できるか？
• RQ3 母関数を用いて、高次元 $q$-Changhee 多項式と高次元 $q$-Euler 多項式の関係は何か？
• RQ4 第二種スターリング数を用いて、$q$-Changhee 多項式と $q$-Euler 多項式の間の変換恒等式は何か？
• RQ5 $p$-進積分の $d$-進分解を用いて、$Ch_{n,q}(x)$ の一般化された公式を導出できるか？

主な発見

• $q$-Changhee 多項式は $Ch_{n,q}(x) = \sum_{k=0}^n S_1(n,k) \mathcal{E}_{k,q}(x)$ として明示的に与えられ、$q$-Euler 多項式と直接関連づけられる。
• 閉形式表現が得られた：$Ch_{n,q}(x) = [2]_q \sum_{k=0}^n \sum_{l=0}^k \frac{1}{(1-q)^k} \binom{k}{l} q^{lx} (-1)^l \frac{S_1(n,k)}{1+q^{l+1}}$ であり、$q$-整数とスターリング数を含む。
• 高次元 $q$-Changhee 多項式については、$Ch_{n,q}^{(r)}(x) = \sum_{k=0}^n S_1(n,k) \mathcal{E}_{k,q}^{(r)}(x)$ が成り立ち、高次元 $q$-Euler 多項式との類似した構造的関係を示す。
• 逆変換は $\mathcal{E}_{n,q}^{(r)}(x) = \sum_{k=0}^n Ch_{k,q}^{(r)}(x) S_2(n,k)$ で与えられ、第二種スターリング数を介した双対性が確立される。
• 一般化された公式が得られた：奇数 $d$ に対して $Ch_{n,q}(x) = \frac{[2]_q}{[2]_{q^d}} \sum_{k=0}^n [d]_q^k \left( \sum_{a=0}^{d-1} (-q)^a \mathcal{E}_{k,q^d}\left(\frac{a+x}{d}\right) \right) S_1(n,k)$ であり、$p$-進積分構造が拡張される。
• 生成関数 $\sum_{n=0}^\infty Ch_{n,q}(x) \frac{t^n}{n!} = \int_{\mathbb{Z}_p} (1+t)^{[x+y]_q} d\mu_{-q}(y)$ は、$q$-Changhee 多項式の基礎的積分表現を提供する。