[論文レビュー] A note on degenerate multi-poly-Genocchi polynomials

Taekyun Kim, Dae San Kim+2 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2020

Advanced Mathematical Identities参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、退化修飾多変数ポリ指数関数の一般化として、退化修飾多重ポリ指数関数を導入し、それらを用いて退化修飾多ポリ・ジェノッキ・多項式を定義する。明示的公式および構造的恒等式を導出し、特に退化修飾オイラー多項式および退化第一種スターリング数を含む多変数の畳み込み型表現を確立することで、数論および数理物理学への応用を持つ退化修飾特殊多項式の基礎的枠組みを構築する。

ABSTRACT

In this paper, we introduce the degenerate multiple polyexponential functions which are multiple versions of the degenerate modified polyexponential functions. Then we consider the degenerate multi-poly-Genocchi polynomials which are defined by using those functions and investigate explicit expressions and some properties for those polynomials.

研究の動機と目的

• 退化修飾特殊多項式の理論を拡張するために、退化修飾多変数ポリ指数関数を退化修飾変形多変数ポリ指数関数の多変数一般化として導入すること。
• これらの新しい母関数を用いて退化修飾多ポリ・ジェノッキ多項式を定義し、それらを研究すること。
• 退化修飾スターリング数および退化修飾オイラー多項式を含む組合せ論的道具を用いて、これらの多項式の明示的閉形式表現を導出すること。
• 既知の退化修飾ジェノッキおよびポリ・ジェノッキ多項式の一般化を示す、構造的恒等式および畳み込み型公式を確立すること。

提案手法

• 退化修飾ポッハマー記号および逆累乗重みを伴う、厳密に増加する多重インデックスの和として、退化修飾多重ポリ指数関数を定義する。
• 退化修飾対数関数および指数関数との合成を用いて、退化修飾多ポリ・ジェノッキ多項式の母関数を構成する。
• 退化修飾対数関数およびその逆関数を含む母関数技術および級数展開を適用し、母関数を積の形に分解する。
• 退化修飾第一種スターリング数を用いて、退化修飾対数関数の累乗を単項式の展開に変換する。
• 係数比較を用いて、得られた母関数を退化修飾オイラー多項式および退化修飾スターリング数の畳み込みとして表現する。
• 二項係数および符号付き項を含む、係数の一致に基づく多変数明示的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 退化設定におけるポリ指数関数の概念を、多重インデックスへ一般化することで、多変数退化修飾ポリ指数関数をどのように構成できるか？
• RQ2 これらの新しい母関数を用いて定義された退化修飾多ポリ・ジェノッキ多項式の明示的代数的構造は何か？
• RQ3 退化修飾多ポリ・ジェノッキ多項式は、既知の退化修飾特殊多項式（例えば退化修飾オイラー多項式およびジェノッキ多項式）とどのように関係しているか？
• RQ4 退化修飾オイラー多項式および第一種退化修飾スターリング数を含む畳み込み型恒等式を、退化修飾多ポリ・ジェノッキ多項式に対して確立できるか？

主な発見

• 退化修飾多ポリ・ジェノッキ多項式は、二項係数、退化修飾オイラー多項式、第一種退化修飾スターリング数、および重み付き退化ポッハマー記号の積を含む三重和として明示的に与えられる。
• 退化修飾多ポリ・ジェノッキ多項式の母関数は、退化修飾指数関数における有理関数と、退化修飾対数関数と合成された多変数退化修飾多重ポリ指数関数の積として表現される。
• 畳み込み恒等式が確立された：$ g_{n, heta}^{(k_1,\text{...},k_r)}(x+y) = \sum_{l=0}^n \binom{n}{l} g_{l, heta}^{(k_1,\text{...},k_r)}(x) (y)_{n-l,\theta} $、これは古典的ジェノッキ多項式の加法的性質を一般化する。
• 明示的公式 $ g_{n, heta}^{(k_1,\text{...},k_r)}(r) $ は、$ m, l, n_1, \dots, n_r $ に関する和として導出され、$ \binom{r}{l} $、$ (-1)^l $、$ 2^{r-l} $、$ \mathcal{E}_{m,\theta}^{(l)} $、$ S_{1,\theta}(n-m,n_r) $、および有理数係数を含む項から成る。
• 単一インデックスから多重インデックスへの次数の拡張により、以前の退化修飾ポリ・ベルヌーイおよび退化修飾ジェノッキ多項式に関する結果を一般化する。
• この枠組みは、多重ポリログラフィック構造および退化微積分の道具を用いて、新しい退化修飾特殊多項式の族を体系的に生成する手法を提供する。