[論文レビュー] A note on Hurwitz schemes of covers of a positive genus curve

Tom Graber, Joe Harris+1 more|ArXiv.org|May 6, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 34

ひとこと要約

この論文は、滑らかで射影的で genus $h \geq 1$ の曲線 $B$ への次数 $d$ の被覆が、$w \geq 2d$ 個の単純分岐点を持ち、モノドロミー群が完全に $S_d$ である Hurwitz 構造をパラメトライズするスキームが連結であることを証明する。種数に関する帰納法とモノドロミー表現へのブレード群作用を用いて、stack $\mathcal{H}^{d,w}_{S_d}(B)$ の既約性を確立し、$\mathbb{P}^1$ 上の古典的結果を高種数曲線へ拡張する。

ABSTRACT

We prove the irreducibility of the space parametrizing branched covers of a fixed Riemann surface $B$ of degree $d$, with at least 2d branch points, and with monodromy group equal to $S_d$. The result is classical for $g(B)=0$. The result is well-known for $g(B) > 0$, but we could find no reference.

研究の動機と目的

• 滑らかで射影的で genus $h \geq 1$ の曲線 $B$ への次数 $d$ の被覆で、$w$ 個の単純分岐点を持つものからなるモジュライ stack $\mathcal{H}^{d,w}_{S_d}(B)$ の既約性を確立すること。
• $\mathbb{P}^1$ 上の Hurwitz 構造に関する古典的既約性結果を、正の種数の曲線へ拡張すること。
• 幾何学的・位相的手段を用いて、モノドロミー表現の性質を調べ、$w \geq 2d$ のとき、モジュライ stack $\mathcal{H}^{d,w}_{S_d}(B)$ が連結であることを証明すること。

提案手法

• 被覆に固定された基点とファイバーのラベル付けを持つ、細かいモジュライスキーム $H^{d,w}_{S_d}(B,\Sigma,b_0)$ を導入し、モノドロミーを研究する。
• 分岐写像 $\text{br}: H^{d,w}_{S_d}(B,\Sigma,b_0) \to (B - \Sigma)^{w,\circ}$ を定義し、分岐点の配置を分析する。
• 曲線 $B$ の種数 $h$ について帰納法を用い、部分曲面 $B_1$ と $B_2$ への分解により、問題を低種数の曲線へ還元する。
• ブレード群作用と分岐集合上でのパスの持ち上げを用いて、$B_1$-自明被覆を結ぶことができることを示し、任意の二つの $B_1$-自明被覆間でモノドロミーを変形できることを示す。
• 分岐集合上のパスをモジュライ空間 $H^{d,w}_{S_d}(B,\Sigma,b_0)$ 上のパスに持ち上げ、パスの連結性により、連結性を証明する。
• モジュライ空間 $H^{d,w}_{S_d}(B,\Sigma,b_0)$ から $\mathcal{H}^{d,w}_{S_d}(B)$ への忘却写像がエタールかつ稠密な像を持つことを利用して、前者の連結性から後者の連結性を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲線 $B$ の種数が正のとき、$w \geq 2d$ ならば Hurwitz stack $\mathcal{H}^{d,w}_{S_d}(B)$ は連結か？
• RQ2 $\mathbb{P}^1$ 上の Hurwitz 構造に関する古典的既約性結果は、高種数曲線へ拡張可能か？
• RQ3 モノドロミー表現へのブレード群作用は、完全なモノドロミー群を持つ被覆のモジュライ空間の連結性をどのように制御するか？
• RQ4 ベース曲線の種数は、完全な対称群モノドロミーを持つ Hurwitz 構造の構造にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 条件 $w \geq 2d$ のもとで、Hurwitz stack $\mathcal{H}^{d,w}_{S_d}(B)$ は連結であり、これにより既約性が示された。
• 証明は、曲線 $B$ の種数 $h$ についての帰納法に基づく。基本ケース $h = 0$ は古典的に知られている。
• $H^{d,w}_{S_d}(B,\Sigma,b_0}$ の任意の連結成分には、部分曲面 $B_1$ でモノドロミーが自明な被覆（$B_1$-自明被覆）が含まれる。
• ブレード群作用により、任意の $B_1$-自明被覆を他の任意の $B_1$-自明被覆へ変形でき、モジュライ空間におけるパスの連結性が保証される。
• ラベル付きモジュライ空間 $H^{d,w}_{S_d}(B,\Sigma,b_0)$ から $\mathcal{H}^{d,w}_{S_d}(B)$ への忘却写像はエタールかつ像が稠密であるため、前者の連結性から後者の連結性が導かれる。
• $\mathcal{H}^{d,w}_{S_d}(B)$ は $\mathbb{C}$ 上の smooth で有限型の Deligne-Mumford stack であり、その連結性が中心的な結果である。