[論文レビュー] A note on local Floer homology

Peter Albers|ArXiv.org|Jun 23, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、任意の適切な almost complex 構造およびホーファーノルムがホロモーフィックディスクまたはスフィアの最小シンプレクティック面積未満であるハミルトニアン関数に対して有効な、局所フローエルホモロジーの新規構成を提示する。主な結果は、このホモロジーが、特筆すべき仮定とエネルギー推定および幾何的基準による直接的コンパクトネス証明を経て、ラグランジュ部分多様体の特異ホモロジーと自然に同型であるということである。

ABSTRACT

In general, Lagrangian Floer homology - if well-defined - is not isomorphic to singular homology. For arbitrary closed Lagrangian submanifolds a local version of Floer homology is defined in [Flo89, Oh96] which is isomorphic to singular homology. This construction assumes that the involved Hamiltonian function $H$ is sufficiently $C^2$-small and the almost complex structure is sufficiently standard. In this note we develop a new construction of local Floer homology which works for any (compatible) almost complex structure and all Hamiltonian function with Hofer norm less than the minimal (symplectic) area of a holomorphic disk or sphere. The example $S^1\subset\C$ shows that this is sharp. If the Lagrangian submanifold is monotone, the grading of local Floer homology can be improved to a $\Z$-grading.

研究の動機と目的

• C^2-小なハミルトニアンや標準的でない almost complex 構造を必要としない、より一般化された局所フローエルホモロジーの新規構成を開発すること。
• より弱い仮定の下でモジュライ空間のコンパクトネスを保証するための、フローエル軌道に対する幾何的基準を確立すること。
• 得られるホモロジーがラグランジュ部分多様体の特異ホモロジーと自然に同型であることを証明すること。
• ホーファーノルム条件 $||H|| < A_L$ が、ホロモーフィックディスクまたはスフィアの最小面積 $A_L$ に対して鋭いかどうかを示すこと。
• 単調ラグランジュ部分多様体へと枠組みを拡張し、ホモロジーに $\mathbb{Z}$-次数を導入すること。

提案手法

• ホロモーフィックディスクの面積が0で、マスロフ指数が0であるという幾何的基準に基づき、区別された部分集合 $\mathcal{P}^{\mathrm{ess}}_L(H)$ をハミルトニアンの弦として定義する。
• コンパクトネスを保証するため、$\omega([U]) = 0$ および $\mu_{\mathrm{Maslov}}([U]) = 0$ を満たすフローエル軌道のモジュライ空間 $\mathcal{M}^{\mathrm{ess}}_L(x,y)$ を構成する。
• エネルギー推定 $E(U) \leq \omega([U]) + ||H|| < A_L$ を用いて、ホロモーフィックストリップのエネルギーを制御し、バブルの発生を防ぐ。
• 標準的な正則性および横断的議論を適用し、一般のデータに対してモジュライ空間が滑らかな多様体であることを示す。
• モジュライ空間 $\mathcal{M}^{\mathrm{ess}}_L(x,y)$ の次元0成分の数え上げによって微分を定義し、これはモーザーホモロジーに quasi-isomorphic なチェーン複体を導く。
• ホーファーノルムの和が $||H_0|| + ||H_1|| < A_L$ を満たすハミルトニアンに対して継続写像を確立し、その変形に対するホモロジーの不変性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所フローエルホモロジーは、C^2-小なハミルトニアンや標準的でない almost complex 構造を必要とせずに構成可能か？
• RQ2 より弱い仮定の下でモジュライ空間のコンパクトネスを保証するフローエル軌道の幾何的条件は何か？
• RQ3 ホーファーノルム条件 $||H|| < A_L$ は、非自明なハミルトニアンの弦の存在にとって最適か？
• RQ4 緩和された条件下でも、得られる局所フローエルホモロジーが特異ホモロジーと自然に同型であるか？
• RQ5 ラグランジュ部分多様体が単調であるとき、ホモロジーの次数はどのように振る舞うか？

主な発見

• 条件 $||H|| < A_L$ の下で、局所フローエルホモロジー $\mathrm{HF}^{\mathrm{ess}}_*(L,\phi_H(L))$ は特異ホモロジー $\mathrm{H}_*(L)$ と自然に同型である。
• この構成は、任意の適切な almost complex 構造およびホーファーノルムが $A_L$ 未満であるすべてのハミルトニアン関数に対して有効である。
• 仮定 $||H|| < A_L$ は鋭いことが示されており、例として $S^1 \subset \mathbb{C}$ を考えると、$||H|| \geq A_{S^1}$ ならば $\phi_H(S^1) \cap S^1 = \emptyset$ となる。
• 単調ラグランジュ部分多様体に対しては、$\mathrm{HF}^{\mathrm{ess}}_*(L,\phi_H(L))$ の次数が $\mathbb{Z}$-次数に改善される。
• エネルギーの上限と面積およびマスロフ指数の消滅により、すべての次元においてモジュライ空間 $\mathcal{M}^{\mathrm{ess}}_L(x,y)$ は破壊を除いてコンパクトである。
• この構成により、チカノフの結果が回復される：$\#\mathcal{P}_L(H) \geq \sum_i b_i(L)$ であり、作用の境界は $-\sup H \leq \mathcal{A}_H(x) \leq -\inf H$ である。