[論文レビュー] A Note on Max $k$-Vertex Cover: Faster FPT-AS, Smaller Approximate Kernel and Improved Approximation

Pasin Manurangsi|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、実行時間 $(1/\varepsilon)^{O(k)}\text{poly}(n)$ の高速なFPT近似スキーム（FPT-AS）を、Max $k$-Vertex Coverに提示する。これは、以前の $(k/\varepsilon)^{O(k)}\text{poly}(n)$ の境界を改善したものである。本手法は、$O(k/\varepsilon)$ 個の高次数頂点に対してブルートフォースを適用し、$O(k/\varepsilon)$ 頂点の近似カーネルを構築可能にし、SDPに基づく前処理を経て多項式時間内に 0.92-近似を得る。これは以前の $(0.75+\delta)$-近似を上回る。

ABSTRACT

In Maximum $k$-Vertex Cover (Max $k$-VC), the input is an edge-weighted graph $G$ and an integer $k$, and the goal is to find a subset $S$ of $k$ vertices that maximizes the total weight of edges covered by $S$. Here we say that an edge is covered by $S$ iff at least one of its endpoints lies in $S$. We present an FPT approximation scheme (FPT-AS) that runs in $(1/\\epsilon)^{O(k)} poly(n)$ time for the problem, which improves upon Gupta et al.'s $(k/\\epsilon)^{O(k)} poly(n)$-time FPT-AS [SODA'18, FOCS'18]. Our algorithm is simple: just use brute force to find the best $k$-vertex subset among the $O(k/\\epsilon)$ vertices with maximum weighted degrees. Our algorithm naturally yields an efficient approximate kernelization scheme of $O(k/\\epsilon)$ vertices; previously, an $O(k^5/\\epsilon^2)$-vertex approximate kernel is only known for the unweighted version of Max $k$-VC [Lokshtanov et al., STOC'17]. Interestingly, this has an application outside of parameterized complexity: using our approximate kernelization as a preprocessing step, we can directly apply Raghavendra and Tan's SDP-based algorithm for 2SAT with cardinality constraint [SODA'12] to give an $0.92$-approximation for Max $k$-VC in polynomial time. This improves upon Feige and Langberg's algorithm [J. Algorithms'01] which yields $(0.75 + \\delta)$-approximation for some (unspecified) constant $\\delta > 0$. We also consider the minimization version (Min $k$-VC), where the goal is to minimize the total weight of edges covered by $S$. We provide an FPT-AS for Min $k$-VC with similar running time of $(1/\\epsilon)^{O(k)} poly(n)$, which again improves on a $(k/\\epsilon)^{O(k)} poly(n)$-time FPT-AS of Gupta et al. On the other hand, we show that there is unlikely a polynomial size approximate kernelization for Min $k$-VC for any factor less than two.

研究の動機と目的

• Max $k$-Vertex Cover における $k$ および $\varepsilon$ に依存するより良い依存関係を有する高速な FPT-AS の開発。
• Max $k$-VC におけるより小さな近似カーネルの設計。従来の $O(k^5/\varepsilon^2)$ から $O(k/\varepsilon)$ 頂点に削減。
• Max $k$-VC における多項式時間近似比を、以前の $(0.75+\delta)$-近似を上回ること。
• Min $k$-VC における最小化バージョンに対しても、同様の実行時間効率を有する FPT-AS フレームワークの拡張。
• 標準的複雑性仮定の下で、Min $k$-VC の近似カーネル化に対する強い下界の確立。

提案手法

• Max $k$-VC における FPT-AS は、重み付き次数が最も高い $O(k/\varepsilon)$ 個の頂点から、ブルートフォースで最良の $k$-部分集合を選択する。
• このアプローチにより、従来の重みなしケースにおける $O(k^5/\varepsilon^2)$ の境界に比べ、著しく小さい $O(k/\varepsilon)$ 頂点の近似カーネルが自然に得られる。
• この近似カーネルは、Raghavendra と Tan の 2SAT に基数制約を課した SDP に基づくアルゴリズムの前処理として使用され、多項式時間内に 0.92-近似が達成可能となる。
• Min $k$-VC に対しても、同様に高次数頂点に対するブルートフォース選択を適用し、$(1/\varepsilon)^{O(k)}\text{poly}(n)$ の実行時間を持つ FPT-AS を達成した。
• Min $k$-VC の下界は、Small Set Expansion Hypothesis の変種と $\mathsf{NP} \not\subseteq \mathsf{coNP}/\text{poly}$ を用いて導出され、近似因子が 2 より小さい場合、多項式サイズの近似カーネルは存在しないことが示された。
• 本手法は、Nemhauser-Trotter 定理とカーネル化からの構造的洞察を活用し、近似保証を維持しながら問題サイズを縮小した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Max $k$-VC における FPT-AS は、指数部に $k$ を含まずに $1/\varepsilon$ のみに依存するように改善可能か？
• RQ2 従来の $O(k^5/\varepsilon^2)$ の境界よりも、Max $k$-VC に対してより小さな近似カーネルを構築可能か？
• RQ3 任意の $\delta>0$ に対して、Max $k$-VC の多項式時間近似比を $(0.75+\delta)$ を超えて改善可能か？
• RQ4 基数制約付き SDP に基づく手法を用いて、Max $k$-VC に対して多項式時間内に 0.92-近似が可能か？
• RQ5 標準的複雑性仮定の下で、近似因子が 2 より小さい Min $k$-VC は多項式サイズの近似カーネルを有するか？

主な発見

• 提案された Max $k$-VC における FPT-AS は、$(1/\varepsilon)^{O(k)}\text{poly}(n)$ 時間で実行され、以前の $(k/\varepsilon)^{O(k)}\text{poly}(n)$ の境界を改善した。
• Max $k$-VC に対して、$O(k/\varepsilon)$ 頂点の近似カーネルが構築された。これは、重みなしケースにおける従来の $O(k^5/\varepsilon^2)$ の境界に比べ、顕著な改善である。
• $O(k/\varepsilon)$-頂点カーネルを前処理として用いることで、Max $k$-VC に対して多項式時間内に 0.92-近似アルゴリズムが達成され、従来の $(0.75+\delta)$-近似を上回った。
• Min $k$-VC に対しても、同じ $(1/\varepsilon)^{O(k)}\text{poly}(n)$ 実行時間を持つ FPT-AS が開発され、従来の $(k/\varepsilon)^{O(k)}\text{poly}(n)$ の境界を改善した。
• Small Set Expansion Hypothesis の変種と $\mathsf{NP} \not\subseteq \mathsf{coNP}/\text{poly}$ を仮定すると、近似因子が 2 より小さい Min $k$-VC に対しては、多項式サイズの近似カーネルは存在しないことが示された。
• 本手法は、高次数頂点選択戦略が、$k$-Vertex Cover の最大化および最小化の両バージョンにおいて、効率的かつ有効であることを示した。