[論文レビュー] A Note on Noncommutative and False Noncommutative spaces

Corneliu Sochichiu|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2000

Advanced Operator Algebra Research参考文献 8被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、非可換空間上の関数の代数が、2種類の異なる表現を許容することを示している。1つは位置生成子の非可約表現に対応する真の非可換空間であり、もう1つは非局所的座標変換により可換空間に再定式化可能な「偽の非可換」と呼ばれるものである。主な結果は、非可換性が物理的に観測可能であるのは、移動生成子の交換関係が非可換性行列の逆行列と一致する場合に限られ、そうでない場合には場の再定義によって除去可能であるということである。

ABSTRACT

We show that the algebra of functions on noncommutative space allows two different representations. One is describing the genuine noncommutative space, while another one can be rewritten in commutative form by a redefinition of generators.

研究の動機と目的

• 真の非可換空間と可換空間に還元可能な「偽の非可換空間」との違いを明確にすること。
• 移動演算子 $ p_{\mu} $ が非可換性が物理的か除去可能かを決定する役割を分析すること。
• 非可約表現に基づく非可換場の理論が、非局所的場の再定義によって可換理論と同等になることの証明。
• 非可換性が物理的に意味を持つ条件を、行列 $ B_{\mu\nu} - \theta^{-1}_{\mu\nu} $ のランクを用いて確立すること。

提案手法

• 非可換座標 $ x^\mu $ を満たすヘイゼンベルク代数を導入し、$[x^\mu, x^\nu] = i\theta^{\mu\nu}$ および正準運動量 $ p_\mu $ に対して $[p_\mu, x^\nu] = -i\delta_\mu^\nu $ を満たす。
• すべての $ x^\nu $ と可換である演算子 $ \pi_\mu = p_\mu + \theta^{-1}_{\mu\alpha}x^\alpha $ を定義し、シュールの補題を用いてその消滅条件を分析する。
• 2通りの状況を区別する：(1) $ x^\mu $ のみの非可約表現では $ \pi_\mu = 0 $ となり、(2) 可約表現では非自明な $ \pi_\mu $ が許容され、偽の非可換性を示唆する。
• 非局所的場の再定義 $ x^\mu \to X^\mu $, $ p_\mu \to P_\mu $ に対する変換式 (10)–(14) を導出する。これにより、系は標準的な可換ヘイゼンベルク代数に写される。
• 一般条件下で変換式 (12)–(14) の解の存在を保証するため、ダーボウの定理を用いる。
• $ B_{\mu\nu} = 0 $ の場合、変換は $ X^\mu = x^\mu + \frac{1}{2}\theta^{\mu\nu}p_\nu $ に簡略化され、非局所的場の再定義による可換空間が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子空間における非可換性が、可換空間と物理的に区別される条件は何か？
• RQ2 非可換座標は場の再定義によって可換座標に写像可能か？ その条件は何か？
• RQ3 $ x^\mu $-代数の表現の非可約性が、非可換性が真のものか偽物かを決定する上で果たす役割は何か？
• RQ4 移動生成子 $ p_\mu $ の交換関係が非可換性の物理的解釈に与える影響は何か？
• RQ5 非可換性が非局所的変換によって除去可能な場合、非可換場理論と可換場理論の間に同値性があるか？

主な発見

• $ x^\mu $ の表現が非可約である場合、$ \pi_\mu = 0 $ となり、$ p_\mu = -i\theta^{-1}_{\mu\nu}x^\nu $ が得られる。これは $ D/2 $ 次元のヘイゼンベルク代数に対応する真の非可換空間を定義する。
• 表現が可約であり、$ B_{\mu\nu} \neq \theta^{-1}_{\mu\nu} $ である場合、非可換性は非局所的場の再定義により除去可能であり、可換空間が得られる。
• 変換式 (12)–(14) の解の存在はダーボウの定理により保証され、可換基底への写像の可能性が裏付けられる。
• $ B_{\mu\nu} = 0 $ の場合、変換は $ X^\mu = x^\mu + \frac{1}{2}\theta^{\mu\nu}p_\nu $ に簡略化され、非可換性が純粋に力学的で非局所的であることが示される。
• 本稿は、このような「偽の非可換空間」に基づくゲージ理論が、非局所写像によって可換理論と同等であることを確立しており、より深い背景独立性を示唆している。
• 真の非可換性と偽の非可換性の区別は、$ B_{\mu\nu} - \theta^{-1}_{\mu\nu} $ のランクにかかっており、$ r > 0 $ であれば非可換性は除去可能である。