[論文レビュー] A note on orderability and Dehn filling

Christopher M. Herald, Xingru Zhang|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、CullerとDunfieldのDehn充填の左順序可能性に関する結果を、制限的な条件を除去することで強化する。整数ホモロジー3次元球面内の絡み目外部が、単位円上に単純な根をもつアレクサンダー多項式を持つ場合、零以外の斜めが零の穴あき近傍内にあるすべてのDehn充填は、左順序可能な基本群を持つことが示され、絡み目理論および3次元多様体位相幾何学への適用範囲が著しく拡大される。

ABSTRACT

We improve upon a recent result of Culler and Dunfield on orderability of certain Dehn fillings by removing a difficult condition they required.

研究の動機と目的

• 先行研究で要請された技術的仮定を除去することで、Dehn充填の左順序可能性に関する結果を一般化すること。
• 整数ホモロジー3次元球面内の絡み目外部がアレクサンダー多項式において単位円上に単純な根をもつ場合、ミネルスロープの近傍におけるDehn充填の基本群が左順序可能であることを確立すること。
• ファイブレーションまたは可約表現条件に依存しないようにすることで、順序可能性結果の適用範囲をより広いクラスの絡み目に拡張すること。
• 左順序可能性、非L空間性、およびco-orientable taut foliationの間の広範な予想を支援すること。

提案手法

• アレクサンダー多項式の構造とその単位円上での根を分析するために、等長的絡み目シグネチャーや連結行列を用いる。
• SU(2)表現に関する[H]の結果を適用し、単純な根におけるアーベル表現に収束する連続的な非可約SU(2)表現族の存在を示す。
• 単純な根におけるアーベル表現を含む、SL(2,C)表現の空間内に滑らかな文字列を構成し、正のパラメータではSU(2)に値をとり、負のパラメータではSU(1,1)に値をとる。
• SU(1,1)がSL(2,R)に共役であることを利用して、アーベル表現に収束する非可約SL(2,R)表現の経路を導出する。
• SL(2,R)表現を普遍被覆 $χτ$ に上げることで、零の穴あき近傍内の斜めを持つDehn充填に対して、$χτ$ への非自明な表現を構成する。
• [BRW, Theorem 1.1] を適用し、このような表現が、充填された多様体の基本群の左順序可能性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 M(0)のすべての本質的表面がファイブレーションであるか、すべてのPSL2(C)文字が可約表現から来ることを仮定しないで、Dehn充填の左順序可能性を確立できるか？
• RQ2 アレクサンダー多項式が単位円上に単純な根をもつことは、ミネルスロープの近傍におけるDehn充填の左順序可能性を保証するか？
• RQ3 SU(1,1)表現から得られるSL(2,R)表現の経路を用いて、零に近い有理数斜めを持つDehn充填に対して、普遍被覆への非自明な表現を誘導できるか？
• RQ4 アレクサンダー多項式の単純な根の近傍における文字列多様体の構造は、Dehn充填における非自明なトポロジーを検出する非可約表現の存在をどのように支援するか？
• RQ5 この新しい手法を用いて、左順序可能性、非L空間性、およびtaut foliationの存在の間の予想的同値性をどの程度まで検証できるか？

主な発見

• 整数ホモロジー3次元球面内の任意の絡み目外部Mについて、Mが非可約で、アレクサンダー多項式が単位円上に単純な根をもつ場合、あるa > 0が存在し、すべての有理数斜めr ∈ (−a, 0) ∪ (0, a) に対して、M(r)の基本群は左順序可能である。
• この結果は、M(0)がS¹に沿ってファイブレーションされたり、すべてのPSL2(C)文字が可約表現から来ることを仮定しない。これにより、先行研究で要請された2つの強い技術的仮定が除去される。
• M(0)が素数（例えば、S³内の絡み目外部の場合）であれば、M(0)の1次ベッチ数が正であるため、区間を(−a, a)に拡張でき、零斜めも含む。
• 証明は、SL(2,C)表現の空間内に滑らかな文字列を構成することに依存し、t > 0ではSU(2)に値をとり、t < 0ではSU(1,1)に値をとり、根においてアーベル表現に収束する。
• このような経路の存在により、SL(2,R)の普遍被覆への上昇が可能となり、(−a, 0) ∪ (0, a)内の斜めを持つDehn充填に対して、$χτ$ への非自明な表現が得られ、左順序可能性が示される。
• この結果は、特にこのような絡み目外部のDehn充填に対して、左順序可能性、非L空間性、およびco-orientable taut foliationの存在が同値であるという予想を支持する。