[論文レビュー] A note on parameter estimation for discretely sampled SPDEs

Igor Cialenco, Yicong Huang|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、時間的または空間的固定点における離散的観測データを用いて、1次元確率的熱方程式におけるドリフトパラメータと拡散パラメータの一貫性と漸近正規性を持つ推定量を提案する。これらの推定量は、パワー変動とマルリビン計算を用いて導出され、有界または非有界領域のいずれに対しても、最小限のサンプリング仮定のもとで $1/\sqrt{n}$ の収束速度を達成する。

ABSTRACT

We consider a parameter estimation problem for one dimensional stochastic heat equations, when data is sampled discretely in time or spatial component. We prove that, the real valued parameter next to the Laplacian (the drift), and the constant parameter in front of the noise (the volatility) can be consistently estimated under somewhat surprisingly minimal information. Namely, it is enough to observe the solution at a fixed time and on a discrete spatial grid, or at a fixed space point and at discrete time instances of a finite interval, assuming that the mesh-size goes to zero. The proposed estimators have the same form and asymptotic properties regardless of the nature of the domain - bounded domain or whole space. The derivation of the estimators and the proofs of their asymptotic properties are based on computations of power variations of some relevant stochastic processes. We use elements of Malliavin calculus to establish the asymptotic normality properties in the case of bounded domain. We also discuss the joint estimation problem of the drift and volatility coefficient. We conclude with some numerical experiments that illustrate the obtained theoretical results.

研究の動機と目的

• スペクトルデータが入手できない状況におけるSPDEの統計的推論手法の不足に対処すること。
• 離散的時間観測または空間観測のみを用いて、確率的熱方程式におけるドリフト（θ）および拡散（σ）パラメータの推定量を構築すること。
• 有界領域または非有界領域のいずれに対しても、最小限の仮定（たとえば、1つの空間的点または1つの時間的点に加えグリッドサンプリング）のもとで推定量の一貫性および漸近正規性を確立すること。
• パワー変動の局所的性質を活用することで、有界領域と非有界領域の両方の推定理論を統一すること。
• θとσの同時推定フレームワークを拡張し、数値実験により結果を検証すること。

提案手法

• SPDE解の二次変動構造を捉えるパワー変動に基づく推定量を導出する。
• 特にドリフトパラメータに対して、有界領域における推定量の漸近正規性をマルリビン計算を用いて確立する。
• 局所的サンプリング行動にのみ依存するため、領域のタイプ（有界または全空間）に依存しない推定量を構築する。
• p-変動および分布収束の理論を適用し、メッシュサイズが消える極限のもとで一貫性および漸近正規性を証明する。
• 有界領域における解の固有関数展開を明示的に用いて、推定量の取り扱いやすい形を導出する。
• 離散的サンプリングスキームと推定量の性能を模擬する数値実験により、理論的結果を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SPDE解の離散的時間観測または離散的空間観測のみが利用可能な状況で、ドリフトおよび拡散パラメータの一致性と漸近正規性を持つ推定量を構築できるか？
• RQ2 一貫性のあるパラメータ推定を可能にする最小限のサンプリング体制（たとえば、1つの空間的点における時間的観測、または1つの時間的点における空間的観測）は何か？
• RQ3 推定量の漸近的性質（特に一貫性および正規性）は、領域のタイプ（有界対非有界）にどのように依存するか？
• RQ4 同じサンプリングスキームと推定量構造で、ドリフトおよび拡散パラメータの同時推定が可能か？
• RQ5 マルリビン計算は、有界領域における推定量の漸近正規性の証明において、どのように機能するか？

主な発見

• ドリフトθおよび拡散σの推定量は、離散的サンプリングのもとで一貫性と漸近正規性を有し、収束速度は $1/\sqrt{n}$ である（$n$ はサンプリング点数）。
• 同じ形の推定量が有界領域および非有界領域の両方で適用可能であり、局所的構造のおかげで領域不変性を示す。
• 有界領域におけるドリフト推定量の漸近正規性は、マルリビン計算と多重ウィENER積分の収束を用いて確立された。
• θとσの同時推定は、同じサンプリングスキームで可能であり、推定量は同じ漸近的性質を維持する。
• 数値実験により、理論的収束速度が確認され、有限標本における推定量の性能が妥当であることが検証された。
• 重要な技術的結果として、$\lim_{n\to\infty} \sqrt{n} \sum_{k\geq 1} \frac{\sin^2(kx)}{k^2} (1 - e^{-\theta k^2 / n}) = \frac{\sqrt{\pi\theta}}{2}$ の極限が得られ、これが漸近的分散の導出に用いられた。