[論文レビュー] A note on q-Volkenborn integration

T. Kim|ArXiv.org|Jun 1, 2005

Advanced Mathematical Identities参考文献 1被引用数 43

ひとこと要約

本稿では、p進整数上のq-Volkenborn積分を用いてq-Volkenborn積分のqアナロジーを導入し、q-Bernoulliおよびq-Euler型数と多項式の新たな恒等式を導出する。生成関数と関数方程式を確立し、q → 1の極限においてK_{n,q}が古典的Euler数に収束することを示し、p進解析を用いてEuler数の自然なq変形が得られることを示す。

ABSTRACT

In this paper, we construct the new $q$-analogue of the ordinary Euler numbers and polynomials by using the $q$-Volkenborn integrals.

研究の動機と目的

• p進設定におけるq-Volkenborn積分のq変形を発展させる。
• これらの積分を用いてq-Bernoulliおよびq-Euler型数と多項式を定義し、それらを研究する。
• q数K_{n,q}およびその一般化形の生成関数と関数方程式を導出する。
• q → 1におけるK_{n,q}の極限挙動を調査し、古典的Euler数に収束することを示す。
• Dirichlet指標に付随する一般化q数におけるKummer合同式の可能性を検討する。

提案手法

• 一様微分可能関数f ∈ UD(ℤ_p)に対して、q-Volkenborn積分∫_{ℤ_p} f(x) dμ_q(x) = lim_{N→∞} (1/[p^N]_q) ∑_{j=0}^{p^N−1} f(j) q^j を用いる。
• q-Bernoulli多項式をβ_{n,q}(x) = ∫_{ℤ_p} [x+t]_q^n dμ_q(t) として定義し、q二項係数を用いた多項式展開を導出する。
• 測度dμ_{-q}(x) ∼ [2]_q / 2 ⋅ (-1)^x q^x を用いてフェルミオン的q-Volkenborn積分を導入し、K_{n,q} = ∫_{ℤ_p} [x]_q^n dμ_{-q}(x) を定義する。
• 恒等式K_{n,q}(x) = ∑_{k=0}^n (n choose k) [x]_q^{n−k} q^{kx} K_{k,q} を用いて、K_{n,q}(x) = ∫_{ℤ_p} [x+y]_q^n dμ_{-q}(y) の関数方程式を導出する。
• 奇数mに対して変換公式K_{n,q}(x) = ([m]_q^n / [m]_{-q}) ∑_{a=0}^{m−1} (-1)^a q^a K_{n,q^m}((a+x)/m) を確立する。
• Dirichlet指標χを用いて一般化し、K_{n,χ,q} = ∫_{X_f} χ(x)[x]_q^n dμ_{-q}(x) を定義し、fが奇数のときK_{n,χ,q} = ([f]_q^n / [f]_{-q}) ∑_{a=0}^{f−1} χ(a)(-1)^a q^a K_{n,q^f}(a/f) を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 q-Volkenborn積分を用いて、p進設定におけるBernoulliおよびEuler数のqアナロジーをどのように定義できるか？
• RQ2 フェルミオン的q-Volkenborn積分から導かれるq数K_{n,q}を特徴づける関数方程式と生成関数は何か？
• RQ3 奇数の導手fおよび原始的Dirichlet指標χに対して、一般化q数K_{n,χ,q}はどのように変換に従うか？
• RQ4 q → 1におけるK_{n,q}の極限挙動は何か？また、古典的Euler数とどのように関係するか？
• RQ5 一般化q数K_{n,χ,q}に対してKummer型合同式を確立できるか？

主な発見

• q積分∫_{ℤ_p} [x]_q^n dμ_{-q}(x) は、K_{n,q} = [2]_q (1/(1−q))^n ∑_{l=0}^n (n choose l) (−1)^l / (1 + q^{l+1}) を与え、q-Euler型数の閉形式表現を提供する。
• K_{n,q}の生成関数はF_q(t) = ∑_{n=0}^∞ K_{n,q} t^n / n! = [2]_q ∑_{n=0}^∞ (−1)^n q^n e^{[n]_q t} であり、q積分と指数的生成関数を結びつける。
• q → 1のとき、F_q(t) → 2 / (e^t + 1) であり、K_{n,q} → E_n となる。これにより、K_{n,q}が古典的Euler数E_nのqアナロジーであることが確認される。
• 奇数mに対して、恒等式K_{n,q}(x) = ([m]_q^n / [m]_{-q}) ∑_{a=0}^{m−1} (−1)^a q^a K_{n,q^m}((a+x)/m) は、q多項式の関数方程式を一般化する。
• fが奇数のとき、一般化q数K_{n,χ,q}はK_{n,χ,q} = ([f]_q^n / [f]_{-q}) ∑_{a=0}^{f−1} χ(a)(−1)^a q^a K_{n,q^f}(a/f) を満たし、Dirichlet指標への枠組みの拡張がなされる。
• 測度dμ_{-q}(x) ∼ [2]_q / 2 ⋅ (−1)^x q^x は、一般化q数列におけるKummer合同式をp進的フレームワークで自然に研究する手がかりを示唆する。