[論文レビュー] A note on quotients of word hyperbolic groups with Property (T)

Yves Cornulier|ArXiv.org|Apr 10, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、カジダンの性質(T)を備えた任意の離散群が、性質(T)を備えたねじれのない語的双曲的群の商であることを証明する。シャルムの有限提示結果とオリヴィエおよびワイズによる性質(T)をもつ核をもつ双曲的拡大の構成を組み合わせることで、強い有限性および幾何的性質を備えたこのような商が存在することを確立し、性質(T)群に対するより強い有限性条件に関する疑問に答えを提示する。

ABSTRACT

Every discrete group with Kazhdan's Property (T) is a quotient of a torsion-free, word hyperbolic group with Property (T).

研究の動機と目的

• すべての性質(T)群が、より強い有限性条件（具体的には語的双曲性）を備えた群の商として実現可能かどうかという疑問を解決すること。
• シャルムの性質(T)群の有限提示に関する結果を、語的双曲性という幾何的条件を追加することで拡張すること。
• 任意の与えられた性質(T)群に上への準同型をもつ、ねじれのない語的双曲的性質(T)群を構成すること。
• このような双曲的商が、元の群の最小生成数を保つことができるかどうかを調査すること。

提案手法

• すべての性質(T)群が、有限生成された性質(T)群の商であるというシャルムの定理を活用すること。
• オリヴィエおよびワイズの短完全系列の構成を適用する：1 → N → G → Q → 1 で、G はねじれのない語的双曲的群であり、N は性質(T)をもつ。
• 性質(T)が拡大において保存されることを用いて、N と Q がともに性質(T)をもつならば、G に対しても性質(T)が成り立つことを導出すること。
• G から任意の与えられた性質(T)群 G への上への準同型を、G から Q への上への準同型と Q から G への上への準同型を合成することで構成すること。
• オリヴィエ＝ワイズの構成の性質に依拠して、得られる群 G₀ がねじれのなく、語的双曲的であることを保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の離散群が、性質(T)を備えたねじれのない語的双曲的群の商として実現可能か？
• RQ2 このような双曲的商を、さらに残余有限であるように構成することは可能か？
• RQ3 元の性質(T)群の生成数が、双曲的商でも保たれるか？
• RQ4 オリヴィエおよびワイズの拡大構成では、核と商の両方が性質(T)をもつ場合、全群に対しても性質(T)が継承可能か？
• RQ5 性質(FA)は、性質(T)と同様に、商において保存されるか？
• RQ6 元の群と同一の数の生成元で生成される、語的双曲的かつ中間的な商が存在するか？

主な発見

• カジダンの性質(T)を備えた任意の離散群は、性質(T)を備えたねじれのない語的双曲的群の商である。
• この構成は、シャルムの有限提示結果と、全群がねじれのなく語的双曲的で、核が性質(T)をもつというオリヴィエおよびワイズの短完全系列を組み合わせることに依拠する。
• 拡大において、商 Q と核 N がともに性質(T)をもつならば、全群 G に対しても性質(T)が成り立つ。これは、性質(T)が拡大において安定であるためである。
• G が r 個の生成元で生成される場合、G₀ は (r+2) 個の生成元で生成可能であり、生成数の増加は小さいことが示された。
• この結果により、性質(T)群がより強い有限性および幾何的性質を備えた双曲的群の商として実現可能かどうかという疑問に対して肯定的な答えが得られた。
• 元の証明に欠陥があったことにもかかわらず、性質(FA)を備えた有限生成性を持つ性質(FA)群の商であるという以前の誤った主張を是正した。