[論文レビュー] A note on scheduling with low rank processing times

Lin Chen, Deshi Ye+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2013

Scheduling and Optimization Algorithms参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、低ランクの処理時間行列を有する最小マクスパンスケジューリング問題の近似不能性の境界を改善する。特殊な3次元マッチングの変種からの還元と、ジョブ処理時間の構築を精緻化することで、著者らは LRS(4) が $3/2 - \epsilon$ 要因内で近似可能でないことが証明され、LRS(3) は APX-ハードであることが示され、以前の結果を強化した。以前の結果では、$3/2$-近似の困難性にはランク7、APX-ハードネスにはランク4を要していた。

ABSTRACT

We consider the classical minimum makespan scheduling problem, where the processing time of job $j$ on machine $i$ is $p_{ij}$, and the matrix $P=(p_{ij})_{m imes n}$ is of a low rank. It is proved in (Bhaskara et al., SODA 2013) that rank 7 scheduling is NP-hard to approximate to a factor of $3/2-ε$, and rank 4 scheduling is APX-hard (NP-hard to approximate within a factor of $1.03-ε$). We improve this result by showing that rank 4 scheduling is already NP-hard to approximate within a factor of $3/2-ε$, and meanwhile rank 3 scheduling is APX-hard.

研究の動機と目的

• 低ランク処理時間行列を有するスケジューリングの近似不能性結果におけるギャップを埋めること。
• ランク4スケジューリングがすでに $3/2 - \epsilon$ 要因内で近似可能でないことが示され、以前の研究がランク7を要していたのを改善すること。
• ランク3スケジューリングのAPX-ハードネスを確立し、困難性の閾値を厳密にすること。
• 組合せ問題からの還元を精緻化するために、特殊な3DM′の変種と繊細なジョブ時間設計を用いること。

提案手法

• 要素とマッチが特定の対称性と固定マッチ集合を持つ特殊な3次元マッチング問題（3DM′）からの還元。
• D次元ベクトルモデルを用いたジョブ処理時間の設計、ここで $p_{ij} = u_i \cdot v_j^T$ であり、主な結果では $D=4$、APX-ハードネスの証明では $D=3$ を使用。
• 3SATインスタンスにおける変数の割り当てと節の充足をシミュレートするための真偽値割り当てマシンと節マシンの構築。
• 負荷制約を強制し、唯一妥当な割り当てがバランスの取れたスケジュールを達成することを保証するための「巨大ジョブ」と「ダミージョブ」の使用。
• $T_1$ および $T_2$ マッチの構造を活用して、3SAT還元における論理的制約をシミュレートすること。
• すべてのマシンが「真実に配慮する」（truth benevolent）こと、つまりマシン上のすべての巨大ジョブでないジョブが一貫した真偽値を持つこと、を証明することで、マシン負荷と論理的一致性を結びつけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 LRS(4) は $3/2 - \epsilon$ 要因内で近似可能でないか？
• RQ2 $3/2$-近似の近似不能性閾値をランク7からランク4に低下させることは可能か？
• RQ3 LRS(3) は APX-ハードか、それとも PTAS が存在するか？
• RQ4 より精緻な3DM′の変種からの還元により、既存の研究を上回る近似不能性結果を得られるか？
• RQ5 低ランクの処理時間行列の構造が、マクスパンスケジューリング問題の近似可能性に根本的に影響を与えるか？

主な発見

• LRS(4) は任意の $\epsilon > 0$ に対して $3/2 - \epsilon$ 要因内で近似可能でないことが示され、以前の結果がこの困難性をランク7を要していたのを改善した。
• LRS(3) は APX-ハードである。これは、$1.03 - \epsilon$ 要因内で近似可能でないことがNP困難であることを意味し、以前の結果がランク4を要していたのを強化した。
• LRS(4) の還元は、固定された $T_2$ マッチと構造化された $T_1$ マッチを持つ特殊な3DM′変種を用い、ジョブの割り当てに対するきめ細やかな制御を可能にした。
• 証明により、すべてのマシンが「真実に配慮する」ことが示され、マシン上のすべての巨大ジョブでないジョブが一貫した真偽値を持つことが保証され、スケジュールのバランスと論理的一致性を結びつけた。
• 構成により、有効なスケジュールが存在するのは、対応する3SATインスタンスが充足可能である場合に限られ、割り当てが一貫している場合にのみ、マクスパンが $r + O(\epsilon)$ に抑えられる。
• 低ランクスケジューリングにおける既知の近似不能性のフロンティアのギャップが埋められ、ランク3および4の行列ですでに強い困難性結果が得られることを示した。