[論文レビュー] A note on small deformations of balanced manifolds

Jixiang Fu, Shing‐Tung Yau|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$δ\bar{\partial}$-lemma 条件を弱めたもの——具体的には $(n-1,n)$-番目の弱 $δ\bar{\partial}$-lemma——の下で、コンpaktoなバランス型多様体の小さな変形がバランス型性を保つことを確立している。この条件が成り立つとき、小さな変形におけるバランス型性の安定性が証明される。主な結果は、中心ファイバー $X_0$ がバランス型計量をもつ場合、近傍のファイバー $X_t$ がこの弱い条件を満たしていれば、十分に小さな $t$ に対して $X_t$ もバランス型計量をもつことである。この結果は、自己双対 4 次元多様体上の twistor 空間への応用を含む。

ABSTRACT

In this note we prove that, under a weak condition, small deformations of a compact balanced manifold are also balanced. This condition is satisfied on the twistor space over a compact self-dual four manifold.

研究の動機と目的

• コンパクト複素多様体上のバランス型計量の小さな変形における不変性を調査すること。
• バランス型計量の保存に要する標準的な $δ\bar{\partial}$-lemma 条件を弱めること。
• バランス型計量の存在のための新たな十分条件——具体的には $(n-1,n)$-番目の弱 $δ\bar{\partial}$-lemma——を確立すること。
• 自己双対 4 次元多様体上の twistor 空間がこの条件を満たし、したがって小さな変形に対してもバランス型計量をもつことの証明すること。

提案手法

• $(n-1,n)$-番目の弱 $δ\bar{\partial}$-lemma を導入：任意の実 $(n-1,n-1)$-形式 $\varphi$ が $\bar{\partial}\varphi$ を $\partial$-exact とすれば、$(n-2,n-1)$-形式 $\psi$ が存在して $\bar{\partial}\varphi = i\partial\bar{\partial}\psi$ となること。
• 楕円理論と $(n-1,n)$-形式上の Kodaira-Spencer 演算子 $E_t$ を用いて、補正項の $\partial\bar{\partial}$-型方程式を解くこと。
• $d$-閉かつ正定値である corrected $(n-1,n-1)$-形式 $\tilde{\Omega}_t = \Omega_t^{n-1,n-1^} + i\partial\Psi_t - i\bar{\partial}\bar{\Psi}_t$ を構成すること。
• $L^2$-直交性と楕円推定を用いて、$\|i\partial\Psi_t\|_{C^0}$ が $t \to 0$ のとき消えることを示し、$\tilde{\Omega}_t$ の正定値性を保証すること。
• $\tilde{\Omega}_t$ の正定値性を用いて、$\tilde{\omega}_t^{n-1} = \tilde{\Omega}_t$ かつ $d\tilde{\omega}_t^{n-1} = 0$ を満たすヘルミート計量 $\tilde{\omega}_t$ を構成し、$X_t$ 上のバランス型計量を得ること。
• 結果を twistor 空間に適用するため、$H^{2,0}(X_t,\mathbb{C}) = 0$ が弱 $\partial\bar{\partial}$-lemma を満たすことを示し、本定理の条件を満たすことを確認すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変形の下でバランス型計量性が保たれる弱い条件下は何か？
• RQ2 $\partial\bar{\partial}$-lemma 条件を緩和しても、バランス型計量の変形不変性が保たれるか？
• RQ3 コンパクト自己双対 4 次元多様体上の twistor 空間は、$(n-1,n)$-番目の弱 $\partial\bar{\partial}$-lemma 条件を満たすか？
• RQ4 修正された $(n-1,n-1)$-形式 $\tilde{\Omega}_t$ の正定値性は十分に小さな $t$ に対して保証されるか？
• RQ5 Iwasawa 多様体の変形を用いて、弱 $\partial\bar{\partial}$-lemma 条件の必要性を示すことができるか？

主な発見

• コンパクトバランス型多様体の小さな変形は、変形されたファイバーが $(n-1,n)$-番目の弱 $\partial\bar{\partial}$-lemma を満たしていればバランス型のままである。
• 条件 $H^{2,0}(X_t,\mathbb{C}) = 0$ が成り立てば、$(n-1,n)$-番目の弱 $\partial\bar{\partial}$-lemma が成り立ち、$X_t$ にバランス型計量が存在することが保証される。
• コンパクト自己双対 4 次元多様体上の twistor 空間は、必要な弱 $\partial\bar{\partial}$-lemma 条件を満たしており、したがって小さな変形に対してもバランス型計量をもつ。
• 十分に小さな $t$ に対して、修正された形式 $\tilde{\Omega}_t$ は厳密に正定値であるため、バランス型計量 $\tilde{\omega}_t$ の構成が可能である。
• $t \to 0$ のとき、$i\partial\Psi_t$ の $C^0$-ノルムは消えるため、楕円推定と $t$ への滑らかな依存性により $\tilde{\Omega}_t$ の正定値性が保証される。
• 本結果は、$\partial\bar{\partial}$-lemma 条件を弱めたことで、Wu の定理を一般化し、バランス型計量の変形不変性には $\partial\bar{\partial}$-lemma が必ずしも必要でないことを示している。