[論文レビュー] A note on the complexity of Feedback Vertex Set parameterized by mim-width

Lars Jaffke, O‐joung Kwon+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Multicolored Cliqueからの還元を適応することで、線形 mim-幅および H-グラフにおいても、Feedback Vertex Set が mim-幅をパラメータとする場合に W[1]-困難であることを確立している。これは、最近の XP アルゴリズムとは対照的に、mim-幅によるパラメータ化が固定パラメータ可 tractability をもたらさないことを示しており、このパラメータ化における問題の計算複雑性が完全に解明されたことを示している。

ABSTRACT

We complement the recent algorithmic result that Feedback Vertex Set is XP-time solvable parameterized by the mim-width of a given branch decomposition of the input graph [3] by showing that the problem is W[1]-hard in this parameterization. The hardness holds even for linear mim-width, as well as for H-graphs, where the parameter is the number of edges in H. To obtain this result, we adapt a reduction due to Fomin, Golovach and Raymond [2], following the same line of reasoning but adding a new gadget.

研究の動機と目的

• mim-幅をパラメータとする Feedback Vertex Set のパラメータ計算複雑性を特定すること。
• 既存の XP アルゴリズムと固定パラメータ可 tractability の可能性との間のギャップを埋めること。
• 線形 mim-幅や H-グラフといった制限付き設定ですら、問題が W[1]-困難のままであることを示すこと。
• Multicolored Clique からの既知の還元を適応し、Maximum Induced Forest に対する下界を確立した後、双対性を用いてその結果を Feedback Vertex Set に移すこと。

提案手法

• Fomin ら [2] の H-グラフ上の Independent Set に対する還元を、修正されたガジェット構成を用いて Maximum Induced Forest に適応する。
• 特定の H-表現を持つ H-グラフ $ G' $ を構築し、Multicolored Clique インスタンスを符号化する。
• H-表現におけるモデルの族を定義し、そのような誘導部分グラフが元のグラフにおけるクリークに対応するようにする。
• 頂点選択の整合性を保証するための鍵となる主張を用い、異なる構成部品における選択が一貫していることを保証し、有効なクリークのみが大きな誘導部分グラフを生成することを保証する。
• 誘導部分グラフとフィードバック頂点集合の双対性を活用する：グラフにサイズ $ k $ の誘導部分グラフが存在するとは、サイズ $ n-k $ のフィードバック頂点集合が存在することと同値である。
• 構築された H-グラフの mim-幅が $ |H| $ の関数によって有界であることを示し、還元がパラメータ計算複雑性を保つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 mim-幅をパラメータとする Feedback Vertex Set は固定パラメータ可 tractable か？
• RQ2 線形 mim-幅への制限のもとでも、Feedback Vertex Set の W[1]-困難性は維持されるか？
• RQ3 H-グラフのクラスにまで、困難性を拡張できるか？ここでパラメータは $ |H| $ である。
• RQ4 mim-幅をパラメータとする Feedback Vertex Set のパラメータ計算複雑性は完全に解明されたか？

主な発見

• mim-幅をパラメータとする Feedback Vertex Set は、線形分岐分解を伴う有界 mim-幅が与えられても W[1]-困難である。
• H-グラフにおいては、パラメータが $ |H| $（H の辺数）である場合にも W[1]-困難である。
• 還元により、$ w $ を mim-幅、$ k $ を解のサイズとする $ w + k $ をパラメータとする Maximum Induced Forest も W[1]-困難であることが示された。
• 構築により、最大サイズの誘導部分グラフは、鍵となる主張によって強制される整合性条件を介して、元のグラフにおける有効な multicolored クリークに対応する。
• この結果は、FPT = W[1] でない限り、このパラメータ化では Feedback Vertex Set に FPT アルゴリズムが存在しないことを示しており、最近の XP アルゴリズムが残した複雑性のギャップを完全に埋めることになった。